Parádně zpracovaný tahák

Parádně zpracovaný tahák na různá témata, viz dále

Nevlastní integrál

11/x dx = lim(t∞) 1t1/x dx

011/xα α=1 (∞),α>1 (D), 0<α<1 (K-číslo)

11/xα α=1 (∞),α>1 (K), 0<α<1 (D)

Funkce Gama

Γ(t) = 0e-xxt-1dx, Γ(1)=1, Γ(n+1)=n.Γ(n)=n!, Γ(½)= π/2

Funkce Beta

B(r,s)= 01xr-1(1-x)s-1dx, B(r,s)= Γ(r).Γ(s)/ Γ(r+s)

Nekonečné řady

lim sn=R (K), =±∞ (D), =neex.(osciluje)

lim an≠0 D, Klim an=0

Limity podíly a odmocninné kriterium

lim an+1/an=L

lim n√an=L

L<1K, L>1D, L=1 (nevím nic)

Srovnávací kriterium

0≤div.minoranta≤bn, 0 ≤bn≤konv.majoranta

Integrálání kriterium

fce na •1,∞), spojitá,klad.,kles.

1f(x)dx <∞ (R) K

Σ1/nα , α>1 (K), α∈(0;1• (D)

Geometrická řada

Σan=lim a1.(1-qn)/(1-q)

|q|<1, a1/(1-q) je R, K

q>1, pro a1>0 vyjde ∞, pro a1<0 vyjde -∞, D

q=1 D, q≤-1 lim neex.,oscil.

Aritmetická řada

Σan=lim an= ±∞ D

Alternující řada Leibnizovo kriterium

an=(-1)n.rn, rn>0, rn+1≤ rn (nerost.), lim rn=0, K

Absolutní konv.

Σ|an| K Σan K

Mocninné řady

Σcn(x-s)n, s..střed, cn..poslouop., ρ..poloměr

ρ=lim|cn|/|cn+1|, ρ=lim 1/n√|cn|

IK: x(s-ρ,s+ρ), K

OK:vyšetř.v kraj.bodech,zda je K

OAK: ( ),• •

Funkce více proměnných

  • Topol.vlast.: otevř (bez hranice),uzavř.(s hr.body),omezená (do čtverce), neom.(do nekoneč.), (kompakt.(uz+om)

1.deriv.:vektor parc.derivací f‘(x,y)=( , ), v bodě f‘(2,3)=(5,6)

2.deriv.:matice, f‘‘(x,y)= [xx xy pod to: yx yy], v bodě-symetr.matice

Totál.diferenciál (u fce hladké)

f‘(x,y).(h1,h2), v bodě-za x,y čísla

Rovnice tečné nadroviny (v bodě C, hladká)

z-f(C)= f‘(C)(X-C)

Lokální extrémy

derivace= ō, podezř.body, 2.der.v podezř.bodech

matice PD-Lmin, ND-Lmax, IN-sedlový bod

(Sylv.věta: PD:D1,2,3,4..+, ND:-+-+, IN:+-+-nebo 2liché s opač.znam.)

Vázané extrémy, extrém vzhledem ke komp.množ.

1)dosaz.metoda (vazeb.podm.-přímka),

g(x) dosazeno do f(x,y) za y, g‘(x)=0, podezř.body, g‘‘(x)-max,min

2)Jakobián (elipsa,kruž.)

det |f-x  f-y pod to: g-x g-y| =0, x,y dosadit do vaz.podm., podezř.body i na hranici (někt.vyloučit), body dosadit: f(P1)=..vyšší č.-max, f(P2)=..nižší č.-min

3)Lagrang.multipl.

f(x,y)=f(x)+λ(f(y)), parc.der. podle x a y: Lx(x,y)=...=0, Ly(x,y)=...=0, vypočítat x,y, 2.der.-do matice,dosadit za neznámé, PD, ND, IN

Diferenciální rovnice

1)postupně intergovat-obecné řeš., počát.podmínky-dosadit za x,y,y‘..., vyjdou konstanty-partik.řeš.

2)separace prom.: y‘=dy/dx, x na jednu str.,y na druhou, zintegrovat obě str., c=...=D, param. (D=0?) – obec.řeš.: y=...

3)variace konst.: D(x)

Tahák - derivace a integrály

Parádní základní vzorce na derivace a integrály. Je možné použít jako tahák nebo jako přehlednou tabulku se vzorci.

Derivace:

ƒ´(c)=lim n0 (c+h)- ƒ(c)]/h

(f/g)´= (f´g-fg´)/g2

(fg)´= f´g+fg´

[f(g)]´=f´(g)g´

(xa)´=nxn-1

(xx)´=xx(ln x + 1)

(cos x)´= - sin x

(sin x)´=cos x

(tg x)´=1/cos2 x

(cotg x)´= - 1/sin2 x

(arcsin x)´= 1/(1-x2)

(arccos x)´= - 1/(1-x2)

(ln x)´=1/x

(ex)´=ex

x

0

/6

/4

/3

/2

sin x

0

1/2

2/2

3/2

1

cos x

1

3/2

2/2

1/2

0

tg x

0

3/2

1

3

ned.

cotg x

ned.

3

1

3/2

0

x

-1

-3/2

-2/2

-1/2

0

arcsin x

-/2

-/3

-/4

-/6

0

arccos x

5/6

3/4

2/3

/2

Integrály: fce F je primitivní k ƒ v I, platí-li F´(x) = ƒ(x) pro každé x z I.

 cos x dx = sin x +c

 sin x dx = - cos x + c

 1/(1+x2) dx = arctg x +c

 1/(1+x2) dx = - arccotg x + c

 xn dx = (xn+1)/(n+1) + c

nN

 0 dx = c

 1 dx = x + c

 ax dx = ax/ln a + c

a  1, a  0

 ex dx = ex +c

 1/x dx = ln x

Sin, Cos, Tg, Cotg...

Následující tabulka Obsahuje základní vzorečky a hodnoty, kterých nabývá SIN, COSIN, TANGENS a COTANGENS. Dále jsou v tabulce základní vzorce derivací a derivací goniometrických funkcí. Ve spodní části tabulky jsou pak vzorce pro integraci goniometrických funkcí. Tabulku je možné využít například jak tahák.

Číst dál

„Nikdy jsem nedopustil, aby škola stála v cestě mému vzdělání.“ Mark Twain