Matice

Matice

Definice. Schéma m.n reálných čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců se nazývá matice typu m x n. Značí se Amxn, příp. [aij]mxn Podobně značíme Brxs, příp. [bij]rxs atd. Čísla a11…amn se nazývají prvky matice A.

Definice. Matice, která má všechny prvky rovny nule, se nazývá nulová matice a značí se N.

Definice. Množina prvků {a11, a22,…,aKK}, kde k = min {m,n} se nazývá hlavní diagonála matice A.

Matice typu m x a, kde m a, která má všechny prvky pod hlavní diagonálou, tj. prvky aij, i j, rovny nule, se nazývá (horní) trojúhelníková matice.

Matice o stejném počtu řádků a sloupců, tj. matice typu r x r, r N se nazývá čtvercová.

Čtvercová matice, která má všechny prvky mimo hlavní diagonálu, tj. prvky aij, i = j, rovny nule, se nazývá diagonální matice.

Čtvercová matice, která má všechny prvky mimo hlavní diagonálu rovny nule a všechny prvky na hlavní diagonále rovny jedné, se nazývá jednotková matice. Značí se J.

Definice. Tzv. řádky neboli řádkové vektory matice A (a11, a12,…,a1n),… (am1, am2,…,amn) generují tzv. řádkový prostor Vř, který je podprostorem prostoru Vn. Tzv. sloupce neboli sloupcové vektory matice A (a11, a12,…,a1n),… (am1, am2,…,amn) generují tzv. sloupcový prostor Vs, který je podprostorem prostoru Vm.

Věta (o hodnosti řádkového a sloupcového prostoru). Uvažujme matici A typu m x n. Hodnost řádkového prostoru (tj. maximální počet lineárně nezávislých řádků) matice A je roven hodnosti sloupcového prostoru (tj. maximálnímu počtu lineárně nezávislých sloupců) této matice a platí

h(Vř) = h(Vs) min {m,n}.

Definice. Hodnost řádkového, resp. sloupcového prostoru matice A se nazývá hodnost matice A a značí se h(A).

Věta(o hodnosti trojúhelníkové matice). Trojúhelníková matice A typu m x n, m a s nenulovými prvky na hlavní diagonále, tj. aii 0, i = 1,…m, (označme ji AΔmxn):

má hodnost rovnou počtu řádků, tj. h(AΔmxn) = m.

Poznámka. Elementárními úpravami α, β, γ, δ, ε řádků matice se nezmění její řádkový prostor a tedy ani hodnost matice.

Věta (o záměně sloupců matice). Záměnou sloupců matice se její hodnost nezmění (úprava ζ).

 

Převod matice Amxn na trojúhelníkový tvar AΔmxn

  1. Je-li a11 = 0, záměnou řádků (úprava α) nebo sloupců (úprava ζ) matice A se na jeho místo přesune nenulový prvek.
  2. Úpravami γ (přičítáním vhodného násobku obvykle 1. řádku ke 2. až k m-tému řádku upravené matice A) se anulují prvky 1. sloupce matice pod hlavní diagonálou.
  3. Pokud je a22 = 0, záměnou řádků nebo sloupců se na jeho místo přesune nenulový prvek.
  4. Úpravami γ (přičítáním vhodného násobku obvykle 2. řádku až k 3. až k m-tému řádku upravené matice A) se anulují prvky 2. sloupce matice pod hlavní diagonálou
  5. atd., vzniklé nulové řádky matice se vynechají (elementární úprava ε)
  6. Po konečném počtu úprav vznikne matice AΔmxn o téže hodnosti jako původní matice A.

Definice. Matice AT, která vznikne z matice A záměnou řádků za sloupce, přičemž zachováme jejich pořadí, se nazývá matice transponovaná k matici A.

Poznámka. Zmíněnou záměnou se zamění pořadí indexů u jednotlivých prvků matice A, tj. aTij = aji, i = 1, m, j = 1,…,a; při transpozici se tedy matice A překlopí pod hlavní diagonálu.

Věta (o hodnosti navzájem transponovaných matic). Navzájem transponované matice mají stejnou hodnost h(AT) = h(A).

Lineární (vektorové) prostory

Definice. Množina L libovolných prvků (budeme je značit a,b,...,z a říkat jim vektory) se nazývá lineární prostor, jestliže

  1. Je dáno zobrazení L x L do L, které každé uspořádané dvojici (x,y) L x L přiřazuje vektor     x + y L tak, že platí axiomy
    1. (x,yL) [x + y = y + x]
    2. (x,y,zL) [x + (y + z) = (x + y) + z]
    3. (oL) (xL) [x + o = x]
    4. (xL) (-xL) [x + (-x) = o]

Toto zobrazení se nazývá sčítání na množině L, vektor x + y se nazývá součet vektorů x,y.

Číst dál

Speciální zobrazení funkce

Definice. Řekneme, že f je reálná funkce, jestliže f je zobrazení takové, že H(f)  R.

Definice. Nechť f a g jsou funkce takové, že D(f) = D(g). Nechť c je reálné číslo. Potom definujeme

  1. součet funkcí f a g, který označíme f + g, předpisem

(xD(f)) ((f + g)(x) = f(x) + g(x))

  1. rozdíl funkcí f a g, který označíme f – g, předpisem

(xD(f) ((f - g)(x) = f(x) – g(x))

  1. c násobek funkce f, který označíme c . f, předpisem

(xD(f) ((c . f)(x) = c . f(x))

  1. součin funkcí f a g, který označíme f . g, předpisem

(xD(f)) ((f . g)(x) = f(x) . g(x))

  1. podíl funkcí f a g, který označíme f/g, předpisem

(xD(f)) (g(x)  0  (f/g)(x) = f(x)/g(x))

  1. absolutní hodnotu funkce f, kterou označíme |f|, předpisem

(xD(f)) ((|f|(x) = |f(x)|).

Definice. Nechť f je reálná funkce, M množina taková, že M  D(f), a c  D(f).

  1. Suprémum (resp. infímum) funkce f na množině M je suprémum (resp. infímum) množiny f(M).
  2. Maximum (resp. minimum) funkce f na množině M je maximum (resp. minimum) množiny f(M).
  3. Extrém funkce f v množině M je maximum funkce f v množině M nebo minimum funkce f v množině M.
  4. Řekneme, že funkce f nabývá v bodě c maxima (resp. minima) vzhledem k množině M, jestliže c  M a f(c) = max(f(M)) (resp. f(c) = min(f(M))).
  5. Řekneme, že funkce f nabývá v bodě c extrému vzhledem k množině M, jestliže funkce f nabývá v bodě c maxima nebo minima vzhledem k množině M.
  6. Řekneme, že funkce f je omezená (resp. shora omezená, resp. zdola omezená) v množině M, jestliže množina f(M) je omezená (resp. shora omezená, resp. zdola omezená).

Definice. Řekneme, že f je reálná funkce jedné reálné proměnné, jestliže f je reálná funkce taková, že D(f)  R.

Definice. Nechť f je reálná funkce jedné reálné proměnné a M množina taková, že M  D(f). Řekneme, že

  1. funkce f je rostoucí v množině M, jestliže (x1M) (x2M) (x1 < x2  f(x1) < f(x2))
  2. funkce f je klesající v množině M, jestliže (x1M) (x2M) (x1 < x2  f(x1) > f(x2))
  3. funkce f je ryze monotónní v množině M, jestliže f je rostoucí v množině M nebo f je klesající v množině M
  4. funkce f je nerostoucí v množině M, jestliže (x1M) (x2M) (x1 < x2  f(x1)  f(x2))
  5. funkce f je neklesající v množině M, jestliže (x1M) (x2M) (x1 < x2  f(x1)  f(x2))
  6. funkce f je monotónní v množině M, jestliže f je nerostoucí v množině M nebo f je neklesající v množině M.

Definice. Nechť f je reálná funkce jedné reálné proměnné a M množina taková, že M  D(f). Řekneme, že

  1. funkce f je sudá v množině M, jestliže (xM) (-xM  f(-x) = f(x))
  2. funkce f je lichá v množině M, jestliže (xM) (-xM  f(-x) = -f(x))
  3. funkce f je periodická v množině M, jestliže existuje reálné číslo p takové, že

p  0  (xM) (x + p  M  f(x+p) = f(x)).

Definice. Nechť f je reálná funkce jedné reálné proměnné a M množina taková, že M  D(f). Řekneme

  1. že funkce f je konvexní v množině M, jestliže

(x1M) (x2M) (x3M) (x1 < x2 < x3  (f(x2) – f(x1))/(x2 – x1) < (f(x3) – f(x2)/(x3 – x2))

  1. že funkce f je konkávní v množině M, jestliže

(x1M) (x2M) (x3M) (x1 < x2 < x3  (f(x2) – f(x1))/(x2 – x1) > (f(x3) – f(x2)/(x3 – x2)).

Definice. Nechť b je reálné číslo. Potom konstantní funkcí rozumíme funkci f definovanou předpisem

(xR) (f(x) = Kb(x) = b).

Definice. Identickou funkcí rozumíme funkci definovanou předpisem f = IR.

Definice. Základní exponenciální funkcí rozumíme reálnou funkci jedné reálné proměnné definovanou předpisem (xR) (exp x = ex).

D(sin) = (-,)  H(sin) = <-1,1>

D(cos) = (-,)  H(cos) = <-1,1>

D(tg) = R - /2 + kπ; kZ}  H(tg) = (-,)

D(cotg) = R - {kπ; kZ}  H(cotg) = (-,)

Inverzní funkce:

  • identická funkce x identická funkce –1
  • n-tá mocnina x n-tá odmocnina
  • exponenciální x logaritmické
  • goniometrické x cyklometrické

Definice. Elementární funkce definujeme indukcí podle složitosti

  1. každá konstantní funkce Kb taková, že D(Kb) = R  bR, je elementární
  2. identická funkce IR je elementární funkce
  3. pro každé nN je funkce n-tá odmocnina elementární
  4. funkce exp a ln jsou elementární
  5. funkce sin, arcsin a arctg jsou elementární (cos, tg, cotg, arccos i arccotg také)
  6. jsou-li funkce f a g elementární, potom jsou funkce f + g, f – g, f . g, f/g a f[g] rovněž elementární

Definice. Řekneme, že f je komplexní funkce reálné proměnné, jestliže f je zobrazení takové, že

D(f)  R a H(f)  C.

Definice. Nechť A je množina. Řekneme, že a je posloupnost obsažená v množině A, jestliže a je zobrazení takové, že D(a) = N a H(a)  A.

Definice. Řekneme, že (an) je reálná (resp. komplexní) posloupnost, jestliže (an) je posloupnost obsažená v množině všech reálných (resp. komplexních) čísel R (resp. C).

Definice. Nechť (an) a (bn) jsou posloupnosti obsažené v množině A. Řekneme, že posloupnost (bn) je vybraná z posloupnosti (an), jestliže existuje posloupnost kladných přirozených čísel (kn) taková, že(nN) (bn = akn).

Množinově logický jazyk matematiky

¬ a        negace výroku a

a  b        konjunkce výroků a a b

a  b        disjunkce výroků a a b

a  b        implikace

a  b        ekvivalence

Definice. Indukcí podle složitosti definujeme formule výrokového počtu:

  1. Každý výrok je formule výrokového počtu
  2. Jsou-li a a b formule výrokového počtu, potom ¬ a, a  b, a  b, a  b, a  b jsou rovněž formule výrokového počtu.
  3. Všechny formule výrokového počtu vznikají konečným počtem aplikací pravidel 1) a 2).

Věta (o tautologiích výrokového počtu). Nechť a, b a c jsou formule výrokového počtu. Potom

  1. a  ¬a (zákon vyloučeného třetího)
  2. (a  b)  (¬b  ¬a) (pravidlo kontrapozice)
  3. ¬ (a  b)  (¬a  ¬b) (1. de Morganovo pravidlo)
  4. ¬ (a  b)  (¬a  ¬b) (2. de Morganovo pravidlo)

Definice. Nechť M je množina. řekneme, že a(x) je predikát s volnou proměnnou x na množině M, jestliže platí: dosadíme-li za x v a(x) libovolný prvek množiny M, potom a(c) je výrok (pravdivý nebo nepravdivý).

 obecný kvantifikátor

 existenční kvantifikátor

Věta (o tautologiích predikátového počtu). Nechť a(x) je predikátová formule na množině M. Potom

  1. (xM) (a(x))  ¬ (xM) ¬ (a(x))
  2. (xM) (a(x))  ¬ (xM) ¬ (a(x))
  3. (xM) ¬ (a(x))  ¬ (xM) (a(x))
  4. (xM) ¬ (a(x))  ¬ (xM) (a(x))

axióm: prvotní zákon, který nelze dokázat

definice: vymezení obsahu a rozsahu nového pojmu

věta: předpoklad a závěr

Definice. Nechť A a B jsou množiny. Řekneme, že množina A je podmnožina (nebo část) množiny B, jestliže  (xA) (xB).

Definice. Nechť A a B jsou množiny. Potom

  1. sjednocení množin A a B je množina AB = {x; xA  xB}
  2. průnik množin A a B je množina AB = {x; xA  xB}
  3. rozdíl množin A a B je množina A – B = {x; xA  xB}

Věta (o vlastnostech množinových operací). Nechť A, B a C jsou množiny.

  1. Je-li A  B a B  C, potom A  C.
  2. Potom   A.
  3. Potom A = B právě tehdy, jestliže (A  B)(B  A)
  4. Potom A  A.
  5. Potom A  A = A a A  A = A
  6. Potom A   =  a A   = A
  7. Potom  - A =  a A -  = A

Definice. Nechť A a B jsou množiny. Řekneme, že množiny A a B jsou disjunktní, jestliže A  B = .

Definice. Uspořádanou dvojicí prvků x a y rozumíme množinu [x,y] = {{x},{x,y}}.

Definice. Nechť A a B jsou množiny. Kartézský součin množin A a B je množina A x B = {[x,y]; xA yB}.

Definice. Nechť A a B jsou množiny. Řekneme, že f je zobrazení množiny A do množiny B, jestliže

  1. f  A x B
  2. ke každému x z množiny A existuje právě jedno y z množiny B tak, že [x,y]  f.

Definice. Je-li f zobrazení A do množiny B, potom

definiční obor zobrazení f je množina D(f) = {x; xA  (yB) ([x,y]∈f)}

obor hodnot zobrazení f je množina H(f) = {y; yB  (xA) ([x,y]∈f)}.

Definice. Řekneme, že f je zobrazení množiny A na množinu B, jestliže

  1. f: A  B a
  2. H(f) = B.

Definice. Řekneme, že f je prosté zobrazení množiny A do množiny B, jestliže

  1. f: A  B a
  2. (x1A) (x2A) (x1  x2  f(x1)  f(x2)).

Definice. Nechť f je prosté zobrazení množiny A na množinu B. Řekneme, že g je inverzní zobrazení k zobrazení f, jestliže g = {[x,y];[y,x]  f}.

Věta (o vlastnostech inverzního zobrazení). Nechť f je prosté zobrazení množiny A na množinu B.

  1. f-1 je prosté zobrazení množiny B na množinu A, přičemž platí (f-1)-1 = f
  2. D(f-1) = H(f)  H(f-1) = D(f)
  3. (xA) (yB) (y = f(x)  x = f-1(y))
  4. f-1[f] = IA, tj. (xA) (f-1(f(x)) = x)
  5. f[f-1] = IB, tj. (xB) (f(f-1(x)) = x).

Definice. Nechť f: A  B a g: B  C.

Potom složené zobrazení vnějšího zobrazení g a vnitřního zobrazení f je zobrazení h definované předpisem (xA) (h(x) = g(f(x))).

Množinu všech přirozených čísel budeme značit symbolem N0, symbolem N budeme označovat množinu N0 - {0}.

Prvky množiny Z budeme nazývat celá čísla.

Prvky množiny Q budeme nazývat racionální čísla.

Reálná čísla, která nejsou racionální, budeme nazývat iracionální (R – Q).

Množinu všech reálných čísel budeme značit R.

Definice. Nechť a a b jsou zobecněná reálná čísla taková, že a < b. Potom

  1. otevřeným intervalem s krajními body a a b rozumíme množinu

(a,b) = {x; xR*  a < x < b}

  1. uzavřeným intervalem s krajními body a a b rozumíme množinu

<a,b> = {x; xR*  a  x  b}

  1. zleva otevřeným a zprava uzavřeným intervalem s krajními body a a b rozumíme množinu

(a,b> = {x; xR*  a < x  b}

  1. zleva uzavřeným a zprava otevřeným intervalem s krajními body a a b rozumíme množinu

<a,b) = {x; xR*  a  x < b}.

Definice. Nechť M je množina taková, že M  R*. Nechť a a b jsou zobecněná reálná čísla. Řekneme, že

  1. a je horní závora množiny M, jestliže (xM) (x  a)
  2. b je dolní závora množiny M, jestliže (xM) (x  b).

Definice. Nechť M je množina taková, že M  R*. Nechť a a b jsou zobecněná reálná čísla. Řekneme, že

  1. a je maximum množiny M, jestliže a  M a a je horní závora množiny M
  2. b je minimum množiny M, jestliže b  M a b je dolní závora množiny M.

Definice. Nechť M je množina taková, že M  R*. Nechť a a b jsou zobecněná reálná čísla. Řekneme, že

  1. a je suprémum množiny M, jestliže a je nejmenší horní závora množiny M
  2. b je infímum množiny M, jestliže b je největší dolní závora množiny M.

Věta (o suprému a infímu). Nechť M je množina taková, že M  R*. Potom existují suprémum a infímum množiny M.

Věta (o suprému a maximu). Nechť M je množina taková, že M  R*. Potom sup(M)M právě tehdy, jestliže existuje maximum množiny M, přičemž max(M) + sup(M).

Věta (o infímu a minimu). Nechť M je množina taková, že M  R*. Potom inf(M)  M právě tehdy, jestliže existuje minimum množiny M, přičemž min(M) = inf(M).

sup (0,1) = 1        inf (0,1) = 0

sup {1/n; nN} = 1        inf {1/n; nN} = 0

sup 0,1> = 1                inf <0,1> = 0

sup {1} = inf {1} = 1

sup { } = -                 inf { } =

Definice. Množina M  R* se nazývá shora omezená, jestliže sup M < .

Množina M  R* se nazývá zdola omezená, jestliže -  < inf M.

Množina M  R* se nazývá omezená, jestliže je omezená shora i zdola.

sup <1,) =

sup R =

sup R* =

sup {(n2 + 1)/n, nN} =

Věta (Archimedova). Množina přirozených čísel není shora omezená, tj. sup N = .

sup <0,1) = 1                inf <0,1) = 0

max <0,1) neexistuje        min <0,1) = 0

Definice. Rozšířenou číselnou osou R* rozumíme množinu R U{-, ∞}, kde definujeme

  1. -  ,                 aR         -  a 
  2.  +  = ,         aR         a +  =
  3. - .  = -,        aR        a -  = -
  4.  .  = , - .  = -, -.(-) =
  5. aR, a  0        a .  =

aR, a  0        a .  = -

  1. 1/ = 0

a pro takto definované operace platí komutativní zákon.

Prvky rozšířené číselné osy nazýváme zobecněná reálná čísla, prvky aR, tj. reálná čísla, nazýváme vlastní body, prvky -,  nazýváme nevlastní body.

Poznámka. Nedefinujeme tzv. neurčité výrazy: - + , 0(± ), ±  / ± , 1/0 (= ± )

Parádně zpracovaný tahák

Parádně zpracovaný tahák na různá témata, viz dále

Nevlastní integrál

11/x dx = lim(t∞) 1t1/x dx

011/xα α=1 (∞),α>1 (D), 0<α<1 (K-číslo)

11/xα α=1 (∞),α>1 (K), 0<α<1 (D)

Funkce Gama

Γ(t) = 0e-xxt-1dx, Γ(1)=1, Γ(n+1)=n.Γ(n)=n!, Γ(½)= π/2

Funkce Beta

B(r,s)= 01xr-1(1-x)s-1dx, B(r,s)= Γ(r).Γ(s)/ Γ(r+s)

Nekonečné řady

lim sn=R (K), =±∞ (D), =neex.(osciluje)

lim an≠0 D, Klim an=0

Limity podíly a odmocninné kriterium

lim an+1/an=L

lim n√an=L

L<1K, L>1D, L=1 (nevím nic)

Srovnávací kriterium

0≤div.minoranta≤bn, 0 ≤bn≤konv.majoranta

Integrálání kriterium

fce na •1,∞), spojitá,klad.,kles.

1f(x)dx <∞ (R) K

Σ1/nα , α>1 (K), α∈(0;1• (D)

Geometrická řada

Σan=lim a1.(1-qn)/(1-q)

|q|<1, a1/(1-q) je R, K

q>1, pro a1>0 vyjde ∞, pro a1<0 vyjde -∞, D

q=1 D, q≤-1 lim neex.,oscil.

Aritmetická řada

Σan=lim an= ±∞ D

Alternující řada Leibnizovo kriterium

an=(-1)n.rn, rn>0, rn+1≤ rn (nerost.), lim rn=0, K

Absolutní konv.

Σ|an| K Σan K

Mocninné řady

Σcn(x-s)n, s..střed, cn..poslouop., ρ..poloměr

ρ=lim|cn|/|cn+1|, ρ=lim 1/n√|cn|

IK: x(s-ρ,s+ρ), K

OK:vyšetř.v kraj.bodech,zda je K

OAK: ( ),• •

Funkce více proměnných

  • Topol.vlast.: otevř (bez hranice),uzavř.(s hr.body),omezená (do čtverce), neom.(do nekoneč.), (kompakt.(uz+om)

1.deriv.:vektor parc.derivací f‘(x,y)=( , ), v bodě f‘(2,3)=(5,6)

2.deriv.:matice, f‘‘(x,y)= [xx xy pod to: yx yy], v bodě-symetr.matice

Totál.diferenciál (u fce hladké)

f‘(x,y).(h1,h2), v bodě-za x,y čísla

Rovnice tečné nadroviny (v bodě C, hladká)

z-f(C)= f‘(C)(X-C)

Lokální extrémy

derivace= ō, podezř.body, 2.der.v podezř.bodech

matice PD-Lmin, ND-Lmax, IN-sedlový bod

(Sylv.věta: PD:D1,2,3,4..+, ND:-+-+, IN:+-+-nebo 2liché s opač.znam.)

Vázané extrémy, extrém vzhledem ke komp.množ.

1)dosaz.metoda (vazeb.podm.-přímka),

g(x) dosazeno do f(x,y) za y, g‘(x)=0, podezř.body, g‘‘(x)-max,min

2)Jakobián (elipsa,kruž.)

det |f-x  f-y pod to: g-x g-y| =0, x,y dosadit do vaz.podm., podezř.body i na hranici (někt.vyloučit), body dosadit: f(P1)=..vyšší č.-max, f(P2)=..nižší č.-min

3)Lagrang.multipl.

f(x,y)=f(x)+λ(f(y)), parc.der. podle x a y: Lx(x,y)=...=0, Ly(x,y)=...=0, vypočítat x,y, 2.der.-do matice,dosadit za neznámé, PD, ND, IN

Diferenciální rovnice

1)postupně intergovat-obecné řeš., počát.podmínky-dosadit za x,y,y‘..., vyjdou konstanty-partik.řeš.

2)separace prom.: y‘=dy/dx, x na jednu str.,y na druhou, zintegrovat obě str., c=...=D, param. (D=0?) – obec.řeš.: y=...

3)variace konst.: D(x)

Tahák - derivace a integrály

Parádní základní vzorce na derivace a integrály. Je možné použít jako tahák nebo jako přehlednou tabulku se vzorci.

Derivace:

ƒ´(c)=lim n0 (c+h)- ƒ(c)]/h

(f/g)´= (f´g-fg´)/g2

(fg)´= f´g+fg´

[f(g)]´=f´(g)g´

(xa)´=nxn-1

(xx)´=xx(ln x + 1)

(cos x)´= - sin x

(sin x)´=cos x

(tg x)´=1/cos2 x

(cotg x)´= - 1/sin2 x

(arcsin x)´= 1/(1-x2)

(arccos x)´= - 1/(1-x2)

(ln x)´=1/x

(ex)´=ex

x

0

/6

/4

/3

/2

sin x

0

1/2

2/2

3/2

1

cos x

1

3/2

2/2

1/2

0

tg x

0

3/2

1

3

ned.

cotg x

ned.

3

1

3/2

0

x

-1

-3/2

-2/2

-1/2

0

arcsin x

-/2

-/3

-/4

-/6

0

arccos x

5/6

3/4

2/3

/2

Integrály: fce F je primitivní k ƒ v I, platí-li F´(x) = ƒ(x) pro každé x z I.

 cos x dx = sin x +c

 sin x dx = - cos x + c

 1/(1+x2) dx = arctg x +c

 1/(1+x2) dx = - arccotg x + c

 xn dx = (xn+1)/(n+1) + c

nN

 0 dx = c

 1 dx = x + c

 ax dx = ax/ln a + c

a  1, a  0

 ex dx = ex +c

 1/x dx = ln x

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné

Derivace

Definice :   Nechť funkce f je definována v jistém okolí bodu c.

                                                   f(c+h) - f(c)

Položme f ´(c) = lim h ⎯•  0, existuje-li tato limita.

Číslo f ´(c) nazveme derivací  funkce f v bodě c .

Neexistuje-li tato limita, pak ríkame, že funkce f nemá v bodě c derivaci. Je-li tato limita vlastní   (resp. nevlastní), pak ríkáme, že funkce f má v bodě c vlastní (resp. nevlastní) derivaci.

Pozn.: jisté okolí bodu c =   interval (c- δ  , c+ δ  ), kde δ    0

Číst dál

Konvengerce, limity..

De analysi indivisibilium (o analýze nekonečně malých velicin)

Definice: Nechť A je neprázdná množina

Konvergenční prostor je uspořádaná dvojice [A,τ], kde τ je zobrazení, které každému prvku a A prirazuje neprázdný systém podmnožin množiny A takový, že platí:

(i) a A U τ(a) (a U),

(ii) a A b A (a b U τ(a) V τ(b) (U V = ) ).

Pozn: množina U τ(a) se nazývá okolí bodu a

τ(a) je systém všech okolí bodu a

zobrazení τ se nazývá konvergence na množině A

prvky konvengerčního prostoru nazýváme body

Definice: Nechť [A,τ] je konvergenční prostor, (an) posloupnost obsažená v množině A a bod a A.

Číst dál

Přehled vysokoškolských definic

Základní vysokoškolské matematické definice - přehled.

Hodnost matice

  • Maximální počet LN řádků matice A se nazývá hodnost matice A.

Regulární a singulární matice

  • Regulární matice - Čtvercová matice, která má LN řádky
  • Singulární matice - Čtvercová matice, která má LZ řádky

Jordanova metoda

  • Matici převedu na jednotkovou matici, řešením je vektor, jehož čísla jsou v sloupci pravých stran.

Číst dál

recenze autobazarů, reference bazarů s auty, hodnocení autobazarů, ojetá auta/zkušenosti s nákupem auta