Množinově logický jazyk matematiky

¬ a        negace výroku a

a  b        konjunkce výroků a a b

a  b        disjunkce výroků a a b

a  b        implikace

a  b        ekvivalence

Definice. Indukcí podle složitosti definujeme formule výrokového počtu:

  1. Každý výrok je formule výrokového počtu
  2. Jsou-li a a b formule výrokového počtu, potom ¬ a, a  b, a  b, a  b, a  b jsou rovněž formule výrokového počtu.
  3. Všechny formule výrokového počtu vznikají konečným počtem aplikací pravidel 1) a 2).

Věta (o tautologiích výrokového počtu). Nechť a, b a c jsou formule výrokového počtu. Potom

  1. a  ¬a (zákon vyloučeného třetího)
  2. (a  b)  (¬b  ¬a) (pravidlo kontrapozice)
  3. ¬ (a  b)  (¬a  ¬b) (1. de Morganovo pravidlo)
  4. ¬ (a  b)  (¬a  ¬b) (2. de Morganovo pravidlo)

Definice. Nechť M je množina. řekneme, že a(x) je predikát s volnou proměnnou x na množině M, jestliže platí: dosadíme-li za x v a(x) libovolný prvek množiny M, potom a(c) je výrok (pravdivý nebo nepravdivý).

 obecný kvantifikátor

 existenční kvantifikátor

Věta (o tautologiích predikátového počtu). Nechť a(x) je predikátová formule na množině M. Potom

  1. (xM) (a(x))  ¬ (xM) ¬ (a(x))
  2. (xM) (a(x))  ¬ (xM) ¬ (a(x))
  3. (xM) ¬ (a(x))  ¬ (xM) (a(x))
  4. (xM) ¬ (a(x))  ¬ (xM) (a(x))

axióm: prvotní zákon, který nelze dokázat

definice: vymezení obsahu a rozsahu nového pojmu

věta: předpoklad a závěr

Definice. Nechť A a B jsou množiny. Řekneme, že množina A je podmnožina (nebo část) množiny B, jestliže  (xA) (xB).

Definice. Nechť A a B jsou množiny. Potom

  1. sjednocení množin A a B je množina AB = {x; xA  xB}
  2. průnik množin A a B je množina AB = {x; xA  xB}
  3. rozdíl množin A a B je množina A – B = {x; xA  xB}

Věta (o vlastnostech množinových operací). Nechť A, B a C jsou množiny.

  1. Je-li A  B a B  C, potom A  C.
  2. Potom   A.
  3. Potom A = B právě tehdy, jestliže (A  B)(B  A)
  4. Potom A  A.
  5. Potom A  A = A a A  A = A
  6. Potom A   =  a A   = A
  7. Potom  - A =  a A -  = A

Definice. Nechť A a B jsou množiny. Řekneme, že množiny A a B jsou disjunktní, jestliže A  B = .

Definice. Uspořádanou dvojicí prvků x a y rozumíme množinu [x,y] = {{x},{x,y}}.

Definice. Nechť A a B jsou množiny. Kartézský součin množin A a B je množina A x B = {[x,y]; xA yB}.

Definice. Nechť A a B jsou množiny. Řekneme, že f je zobrazení množiny A do množiny B, jestliže

  1. f  A x B
  2. ke každému x z množiny A existuje právě jedno y z množiny B tak, že [x,y]  f.

Definice. Je-li f zobrazení A do množiny B, potom

definiční obor zobrazení f je množina D(f) = {x; xA  (yB) ([x,y]∈f)}

obor hodnot zobrazení f je množina H(f) = {y; yB  (xA) ([x,y]∈f)}.

Definice. Řekneme, že f je zobrazení množiny A na množinu B, jestliže

  1. f: A  B a
  2. H(f) = B.

Definice. Řekneme, že f je prosté zobrazení množiny A do množiny B, jestliže

  1. f: A  B a
  2. (x1A) (x2A) (x1  x2  f(x1)  f(x2)).

Definice. Nechť f je prosté zobrazení množiny A na množinu B. Řekneme, že g je inverzní zobrazení k zobrazení f, jestliže g = {[x,y];[y,x]  f}.

Věta (o vlastnostech inverzního zobrazení). Nechť f je prosté zobrazení množiny A na množinu B.

  1. f-1 je prosté zobrazení množiny B na množinu A, přičemž platí (f-1)-1 = f
  2. D(f-1) = H(f)  H(f-1) = D(f)
  3. (xA) (yB) (y = f(x)  x = f-1(y))
  4. f-1[f] = IA, tj. (xA) (f-1(f(x)) = x)
  5. f[f-1] = IB, tj. (xB) (f(f-1(x)) = x).

Definice. Nechť f: A  B a g: B  C.

Potom složené zobrazení vnějšího zobrazení g a vnitřního zobrazení f je zobrazení h definované předpisem (xA) (h(x) = g(f(x))).

Množinu všech přirozených čísel budeme značit symbolem N0, symbolem N budeme označovat množinu N0 - {0}.

Prvky množiny Z budeme nazývat celá čísla.

Prvky množiny Q budeme nazývat racionální čísla.

Reálná čísla, která nejsou racionální, budeme nazývat iracionální (R – Q).

Množinu všech reálných čísel budeme značit R.

Definice. Nechť a a b jsou zobecněná reálná čísla taková, že a < b. Potom

  1. otevřeným intervalem s krajními body a a b rozumíme množinu

(a,b) = {x; xR*  a < x < b}

  1. uzavřeným intervalem s krajními body a a b rozumíme množinu

<a,b> = {x; xR*  a  x  b}

  1. zleva otevřeným a zprava uzavřeným intervalem s krajními body a a b rozumíme množinu

(a,b> = {x; xR*  a < x  b}

  1. zleva uzavřeným a zprava otevřeným intervalem s krajními body a a b rozumíme množinu

<a,b) = {x; xR*  a  x < b}.

Definice. Nechť M je množina taková, že M  R*. Nechť a a b jsou zobecněná reálná čísla. Řekneme, že

  1. a je horní závora množiny M, jestliže (xM) (x  a)
  2. b je dolní závora množiny M, jestliže (xM) (x  b).

Definice. Nechť M je množina taková, že M  R*. Nechť a a b jsou zobecněná reálná čísla. Řekneme, že

  1. a je maximum množiny M, jestliže a  M a a je horní závora množiny M
  2. b je minimum množiny M, jestliže b  M a b je dolní závora množiny M.

Definice. Nechť M je množina taková, že M  R*. Nechť a a b jsou zobecněná reálná čísla. Řekneme, že

  1. a je suprémum množiny M, jestliže a je nejmenší horní závora množiny M
  2. b je infímum množiny M, jestliže b je největší dolní závora množiny M.

Věta (o suprému a infímu). Nechť M je množina taková, že M  R*. Potom existují suprémum a infímum množiny M.

Věta (o suprému a maximu). Nechť M je množina taková, že M  R*. Potom sup(M)M právě tehdy, jestliže existuje maximum množiny M, přičemž max(M) + sup(M).

Věta (o infímu a minimu). Nechť M je množina taková, že M  R*. Potom inf(M)  M právě tehdy, jestliže existuje minimum množiny M, přičemž min(M) = inf(M).

sup (0,1) = 1        inf (0,1) = 0

sup {1/n; nN} = 1        inf {1/n; nN} = 0

sup 0,1> = 1                inf <0,1> = 0

sup {1} = inf {1} = 1

sup { } = -                 inf { } =

Definice. Množina M  R* se nazývá shora omezená, jestliže sup M < .

Množina M  R* se nazývá zdola omezená, jestliže -  < inf M.

Množina M  R* se nazývá omezená, jestliže je omezená shora i zdola.

sup <1,) =

sup R =

sup R* =

sup {(n2 + 1)/n, nN} =

Věta (Archimedova). Množina přirozených čísel není shora omezená, tj. sup N = .

sup <0,1) = 1                inf <0,1) = 0

max <0,1) neexistuje        min <0,1) = 0

Definice. Rozšířenou číselnou osou R* rozumíme množinu R U{-, ∞}, kde definujeme

  1. -  ,                 aR         -  a 
  2.  +  = ,         aR         a +  =
  3. - .  = -,        aR        a -  = -
  4.  .  = , - .  = -, -.(-) =
  5. aR, a  0        a .  =

aR, a  0        a .  = -

  1. 1/ = 0

a pro takto definované operace platí komutativní zákon.

Prvky rozšířené číselné osy nazýváme zobecněná reálná čísla, prvky aR, tj. reálná čísla, nazýváme vlastní body, prvky -,  nazýváme nevlastní body.

Poznámka. Nedefinujeme tzv. neurčité výrazy: - + , 0(± ), ±  / ± , 1/0 (= ± )

hodnocenní bazarů od zákazníků, recenze autobazarů, hodnocení autobazarů, zkušenosti s autobazary/zkušenosti barazy, zkušenosti s autobazary, bazary zkušenosti