Speciální zobrazení funkce

Definice. Řekneme, že f je reálná funkce, jestliže f je zobrazení takové, že H(f)  R.

Definice. Nechť f a g jsou funkce takové, že D(f) = D(g). Nechť c je reálné číslo. Potom definujeme

  1. součet funkcí f a g, který označíme f + g, předpisem

(xD(f)) ((f + g)(x) = f(x) + g(x))

  1. rozdíl funkcí f a g, který označíme f – g, předpisem

(xD(f) ((f - g)(x) = f(x) – g(x))

  1. c násobek funkce f, který označíme c . f, předpisem

(xD(f) ((c . f)(x) = c . f(x))

  1. součin funkcí f a g, který označíme f . g, předpisem

(xD(f)) ((f . g)(x) = f(x) . g(x))

  1. podíl funkcí f a g, který označíme f/g, předpisem

(xD(f)) (g(x)  0  (f/g)(x) = f(x)/g(x))

  1. absolutní hodnotu funkce f, kterou označíme |f|, předpisem

(xD(f)) ((|f|(x) = |f(x)|).

Definice. Nechť f je reálná funkce, M množina taková, že M  D(f), a c  D(f).

  1. Suprémum (resp. infímum) funkce f na množině M je suprémum (resp. infímum) množiny f(M).
  2. Maximum (resp. minimum) funkce f na množině M je maximum (resp. minimum) množiny f(M).
  3. Extrém funkce f v množině M je maximum funkce f v množině M nebo minimum funkce f v množině M.
  4. Řekneme, že funkce f nabývá v bodě c maxima (resp. minima) vzhledem k množině M, jestliže c  M a f(c) = max(f(M)) (resp. f(c) = min(f(M))).
  5. Řekneme, že funkce f nabývá v bodě c extrému vzhledem k množině M, jestliže funkce f nabývá v bodě c maxima nebo minima vzhledem k množině M.
  6. Řekneme, že funkce f je omezená (resp. shora omezená, resp. zdola omezená) v množině M, jestliže množina f(M) je omezená (resp. shora omezená, resp. zdola omezená).

Definice. Řekneme, že f je reálná funkce jedné reálné proměnné, jestliže f je reálná funkce taková, že D(f)  R.

Definice. Nechť f je reálná funkce jedné reálné proměnné a M množina taková, že M  D(f). Řekneme, že

  1. funkce f je rostoucí v množině M, jestliže (x1M) (x2M) (x1 < x2  f(x1) < f(x2))
  2. funkce f je klesající v množině M, jestliže (x1M) (x2M) (x1 < x2  f(x1) > f(x2))
  3. funkce f je ryze monotónní v množině M, jestliže f je rostoucí v množině M nebo f je klesající v množině M
  4. funkce f je nerostoucí v množině M, jestliže (x1M) (x2M) (x1 < x2  f(x1)  f(x2))
  5. funkce f je neklesající v množině M, jestliže (x1M) (x2M) (x1 < x2  f(x1)  f(x2))
  6. funkce f je monotónní v množině M, jestliže f je nerostoucí v množině M nebo f je neklesající v množině M.

Definice. Nechť f je reálná funkce jedné reálné proměnné a M množina taková, že M  D(f). Řekneme, že

  1. funkce f je sudá v množině M, jestliže (xM) (-xM  f(-x) = f(x))
  2. funkce f je lichá v množině M, jestliže (xM) (-xM  f(-x) = -f(x))
  3. funkce f je periodická v množině M, jestliže existuje reálné číslo p takové, že

p  0  (xM) (x + p  M  f(x+p) = f(x)).

Definice. Nechť f je reálná funkce jedné reálné proměnné a M množina taková, že M  D(f). Řekneme

  1. že funkce f je konvexní v množině M, jestliže

(x1M) (x2M) (x3M) (x1 < x2 < x3  (f(x2) – f(x1))/(x2 – x1) < (f(x3) – f(x2)/(x3 – x2))

  1. že funkce f je konkávní v množině M, jestliže

(x1M) (x2M) (x3M) (x1 < x2 < x3  (f(x2) – f(x1))/(x2 – x1) > (f(x3) – f(x2)/(x3 – x2)).

Definice. Nechť b je reálné číslo. Potom konstantní funkcí rozumíme funkci f definovanou předpisem

(xR) (f(x) = Kb(x) = b).

Definice. Identickou funkcí rozumíme funkci definovanou předpisem f = IR.

Definice. Základní exponenciální funkcí rozumíme reálnou funkci jedné reálné proměnné definovanou předpisem (xR) (exp x = ex).

D(sin) = (-,)  H(sin) = <-1,1>

D(cos) = (-,)  H(cos) = <-1,1>

D(tg) = R - /2 + kπ; kZ}  H(tg) = (-,)

D(cotg) = R - {kπ; kZ}  H(cotg) = (-,)

Inverzní funkce:

  • identická funkce x identická funkce –1
  • n-tá mocnina x n-tá odmocnina
  • exponenciální x logaritmické
  • goniometrické x cyklometrické

Definice. Elementární funkce definujeme indukcí podle složitosti

  1. každá konstantní funkce Kb taková, že D(Kb) = R  bR, je elementární
  2. identická funkce IR je elementární funkce
  3. pro každé nN je funkce n-tá odmocnina elementární
  4. funkce exp a ln jsou elementární
  5. funkce sin, arcsin a arctg jsou elementární (cos, tg, cotg, arccos i arccotg také)
  6. jsou-li funkce f a g elementární, potom jsou funkce f + g, f – g, f . g, f/g a f[g] rovněž elementární

Definice. Řekneme, že f je komplexní funkce reálné proměnné, jestliže f je zobrazení takové, že

D(f)  R a H(f)  C.

Definice. Nechť A je množina. Řekneme, že a je posloupnost obsažená v množině A, jestliže a je zobrazení takové, že D(a) = N a H(a)  A.

Definice. Řekneme, že (an) je reálná (resp. komplexní) posloupnost, jestliže (an) je posloupnost obsažená v množině všech reálných (resp. komplexních) čísel R (resp. C).

Definice. Nechť (an) a (bn) jsou posloupnosti obsažené v množině A. Řekneme, že posloupnost (bn) je vybraná z posloupnosti (an), jestliže existuje posloupnost kladných přirozených čísel (kn) taková, že(nN) (bn = akn).

„Láska vdaných žen je nejcennější na světě, manželé o tom ovšem nevědí.“ Oscar Wilde