Konvengerce, limity..

De analysi indivisibilium (o analýze nekonečně malých velicin)

Definice: Nechť A je neprázdná množina

Konvergenční prostor je uspořádaná dvojice [A,τ], kde τ je zobrazení, které každému prvku a A prirazuje neprázdný systém podmnožin množiny A takový, že platí:

(i) a A U τ(a) (a U),

(ii) a A b A (a b U τ(a) V τ(b) (U V = ) ).

Pozn: množina U τ(a) se nazývá okolí bodu a

τ(a) je systém všech okolí bodu a

zobrazení τ se nazývá konvergence na množině A

prvky konvengerčního prostoru nazýváme body

Definice: Nechť [A,τ] je konvergenční prostor, (an) posloupnost obsažená v množině A a bod a A.

Rekněme, že posloupnost (an) má limitu (nebo konverguje k) a v množině A a píšeme lim an = a, jestliže

U τ(a) d R n N (n d an U).

Pozn: tzn. pro každé okolí bodu a existuje reálné císlo d, kdy pro každé n N platí, ...

Věta (o jednoznacnosti limity posloupnosti):

Nechť A je konvengerční prostor a (an) posloupnost obsažená v množině A.

Potom posloupnost (an) má v množině A nejvýše jednu limitu.

Věta (o limitě konstantní posloupnosti):

Nechť A je konvengerční prostor a a A.

Potom posloupnost (a) konverguje k limitě a v množině A, tj. limn ⎯• a = a.

Věta (o limitě vybrané posloupnosti):

Nechť A je konvengerční prostor, (an) a (bn) posloupnosti obsažené v množině A takové, že (bn) je vybraná posloupnost z posloupnosti (an), a bod a A.

Jesliže posloupnost (an) konverguje v množině A k limitě a, potom posloupnost (bn) rovnež konverguje v množině A k limitě a.

Standartní konvergence na R a R*

Definice: Nechť a je reálné císlo a ε kladné reálné císlo.

Potom ε - okolí reálného císla a je množina U(a,ε) = (a - ε, a + ε).

Definice: Standartní konvergence na R je zobrazení τs takové, že pro každé reálné císlo a je τs(a) = {U(a,ε); ε 0}.

Věta (o standartní konvergenci na R):

Množina všech reálných čísel R, na které je definována standartní konvergence τs, je konvengerční prostor.

Pozn: tuto množinu znacíme R1

Definice: (i) Nechť λ1 je reálné císlo.

Potom λ1 - okolí bodu je množina U(,λ1) = (λ1, ∞•.

(ii) Nechť λ2 je reálné císlo.

Potom λ2 - okolí bodu - je množina U(-,λ2) = -,λ2).

Definice: Standartní konvergence na R* je zobrazení τs* takové, že

a R ( τs*(a) = {U(a,ε); ε 0} ),

( τs*() = {U(,λ1); λ1 R},

(τs*(-) = {U(-,λ2); λ2 R}.

Věta (o standartní konvergenci na R*):

Rozšírená číselná osa R*, na které je definována standartní konvergence τs*, je konvengerční prostor.

Pozn: tuto množinu znacíme R1*

Věta (o limitě monotónní posloupnosti):

Nechť (an) je reálná posloupnost.

(i) Je-li posloupnost (an) neklesající, potom existuje limn ⎯• an a limn ⎯• an = sup ((an)).

(ii) Je-li posloupnost (an) nerostoucí, potom existuje limn ⎯• an a limn ⎯• an = inf ((an)).

Dusledek: omezená monotónní posloupnost je konvergentní

Věta (o limitě operací pro posloupnosti):

Nechť (an) a (bn) jsou reálné posloupnosti.

Potom

(i) limn ⎯• (an +- bn) = limn ⎯• an +- limn ⎯• bn ,

(ii) limn ⎯• (an bn) = limn ⎯• an * limn ⎯• bn ,

(iii) limn ⎯• (an / bn) = limn ⎯• an / limn ⎯• bn ,

(iv) limn ⎯• an = limn ⎯• an,

pokud existují pravé strany.

Věta (o limitě sevřené posloupnosti - o dvou policistech):

Nechť (an), (bn) a (cn) jsou reálné posloupnosti takové, že (an) (cn) (bn) a limn ⎯• an = limn ⎯• bn.

Potom existuje limn ⎯• cn a platí limn ⎯• cn = limn ⎯• an = limn ⎯• bn.

Věta (o nulové limitě posloupnosti):

Nechť (an) je reálná posloupnost a a reálné císlo.

Potom

(i) limn ⎯• an = 0 práve tehdy, jestliže limn ⎯• an = 0,

(ii) limn ⎯• 1 / an = 0 práve tehdy, jestliže limn ⎯• an = ,

(iii) je-li limn ⎯• 1 / an = 0 a jsou-li všechna an od jistého indexu kladná (resp. záporná), je limn ⎯• an = (resp. limn ⎯• an = -) ,

(iv) limn ⎯• an = a práve tehdy, jesliže limn ⎯• an - a = 0.

Věta (o nerovnostech a posloupnostech):

Nechť (an) a (bn) jsou reálné posloupnosti takové, že existují limn ⎯• an a limn ⎯• bn.

(i) Jestliže (an) (bn), potom limn ⎯• an limn ⎯• bn.

(ii) Jestliže limn ⎯• an limn ⎯• bn , potom existuje kladné prirozené císlo k takové, že

n N (n k an bn).

Věta (Bolzanova - Weierstrassova):

Nechť (cn) je reálná posloupnost obsažená v reálném intervalu a,b.

Potom existuje reálná posloupnost (dn) vybraná z posloupnosti (cn) taková, že existuje limn ⎯• dn a limn ⎯• dn a,b.

Věta (o aproximaci reálných čísel císly racionálními):

Ke každému reálnému císlu x existuje neklesající posloupnost racionálních čísel (an) taková, že limn ⎯• an = x.

Standartní konvergence na Rn

Definice: Nechť A = [a1, ....., an] je bod z Rn a ε kladné reálné císlo.

Potom ε - okolí bodu A je množina Un(A,ε) = (a1 - ε, a1 + ε) x ..... x (an - ε, an + ε).

Definice: Standartní konvergence na Rn je zobrazení τs takové, že pro každý bod A z množiny Rn je τs(A) = {Un(A,ε); ε 0}.

Pozn: množinu Rn, na které je definována standartní konvergence τs , budeme oznacovat Rn

Věta (o standartní konvergenci na Rn):

Rn je konvengerční prostor.

Věta (o limitě posloupnosti v Rn):

Nechť (Ak) je posloupnost obsažená v Rn a A je bod z Rn.

Potom posloupnost (Ak) konverguje v Rn k bodu A práve tehdy, jestliže pro všechna prirozená císla i taková, že 1 i n, posloupnost i-tých souradnic bodu (Ak) konverguje (v R1) k i-té souradnici bodu A.

Spojitost zobrazení

Definice: Nechť A a B jsou konvengerční prostory, f: A ⎯• B, c A a M A.

(i) Rekneme, že zobrazení f je spojité v bode c, jestliže pro všechny posloupnosti (an) obsažené v množině A platí:

limn ⎯• an = c limn ⎯• f(an) = f(c).

(ii) Rekneme, že zobrazení f je spojité v množině M, jestliže pro všechny posloupnosti (an) obsažené v množině M a pro všechny body a z množiny M platí:

limn ⎯• an = a limn ⎯• f(an) = f(a).

Pozn: f je spojité v množině M, je-li spojité ve všech bodech množiny M

Věta (o spojitosti superpozice):

Nechť A, B a C jsou konvengerční prostory, f: A ⎯• B, g: B ⎯• C, c A a M A.

(i) Je-li zobrazení f spojité v bode c a zobrazení g spojité v bode f(c), potom zobrazení g[f] je spojité v bode c.

(ii) Je-li zobrazení f spojité v množině M a zobrazení g spojité v množině f(M), potom zobrazení g[f] je spojité v množině M.

Věta (o spojitosti operací):

Nechť f a g jsou reálné funkce takové, že D(f) = D(g). Nechť c D(f) a M D(f).

(i) Jsou-li funkce f a g spojité v bode c (resp. v množině M), potom jsou funkce f + g, f - g, f g, f spojité v bode c (resp. v množině M).

(ii) Jsou-li funkce f a g spojité v bode c (resp. v množině M), pricemž g(c) 0 (resp. x M (g(x) 0), potom je funkce f / g spojitá v bode c (resp. v množině M).

Věta (o spojitosti elementárních funkcí):

Každá elementární funkce je spojitá v libovolném bode svého definicního oboru.

Věta (Bolzanova):

Nechť f je reálná funkce jedné reálné promenné spojitá v reálném intervalu a,b taková, že f(a) * f(b) 0.

Potom existuje reálné císlo c takové, že c (a,b) a f(c) = 0.

Věta (dusledek Bolzanovy vety):

Nechť f je reálná funkce jedné reálné promenné spojitá v intervalu (a,b) taková, že nemá v intervalu (a,b) žádný nulový bod.

Potom funkce f je stále kladná nebo stále záporná v intervalu (a,b).

Věta (Weierstrassova):

Nechť f je reálná funkce jedné reálné promenné spojitá v reálném intervalu a,b.

Potom funkce f nabývá v intervalu a,b jak svého maxima, tak i svého minima vzhledem k intervalu a,b.

Limita zobrazení

Definice: Nechť A je konvengerční prostor, M A a c A.

Rekneme, že c je hromadný bod množiny M (vzhledem k množině A), jestliže existuje posloupnost (an) obsažená v množině M taková, že n N (an c) lim n ⎯• an = c.

Definice: Nechť A a B jsou konvengerční prostory, f: M ⎯• B, M A, b B a c A takový, že c je hromadný bod množiny M.

Rekneme, že zobrazení f má limitu b v bode c, jestliže pro všechny posloupnosti (an) obsažené v množině M platí:

(n N (an c) lim n ⎯• an = c) lim n ⎯• f (an) = b.

Pozn: zobrazení f má limitu b v bode c ......... limx ⎯• c f(x) = b

Věta (o jednoznacnosti limity zobrazení):

Nechť A a B jsou konvengerční prostory, c A, f: M ⎯• B, kde M A.

Potom zobrazení f má v bode c nejvýše jednu limitu.

Věta (o vztahu mezi limitou a spojitostí zobrazení):

Nechť A a B jsou konvengerční prostory, f: M ⎯•B, M A a c A, pricemž c je hromadný bod množiny M.

Potom zobrazení f je spojité v bode c práve tehdy, jestliže existuje lim x ⎯• c f(x) a lim x ⎯• c f(x) = f(c).

Věta (o limitě superpozice):

Nechť A, B a C jsou konvengerční prostory, f: M ⎯• N, g: N ⎯• C, kde M A a N B. Nechť existuje lim x ⎯• c f(x) = d.

(i) Nechť zobrazení g je spojité v bode d.

Potom existuje lim x ⎯• c (g[f])(x) a platí lim x ⎯• c g (f(x)) = g (limx ⎯• c f(x)) = g (d).

(ii) Nechť existuje okolí U bodu c takové, že x ( U-{c}) M (f(x) d) a existuje lim y ⎯• d g(y).

Potom existuje lim x ⎯• c (g[f])(x) a lim x ⎯• c g(f(x)) = lim y ⎯• d g(y).

Věta (o limitě operací pro reálné funkce):

Nechť f a g jsou reálné funkce takové, že D(f) = D(g). Nechť k je reálné císlo.

Potom

(i) lim x ⎯• c (f(x) +- g(x)) = lim x ⎯• c f(x) +- lim x ⎯• c g(x),

(ii) lim x ⎯• c (f(x) * g(x)) = lim x ⎯• c f(x) * lim x ⎯• c g(x),

(iii) lim x ⎯• c f(x)/g(x) = lim x ⎯• c f(x)/ lim x ⎯• c g(x),

(iv) lim x ⎯• c (k * f(x)) = k * lim x ⎯• c f(x),

(v) lim x ⎯• c f(x) = lim x ⎯• c f(x), pokud existují pravé strany.

Definice: Nechť f je reálná funkce jedné reálné promenné, c R1 , c R1*.

Funkce f má v bode c limitu b zleva, jestliže pro každou posloupnost (an) obsaženou v D(f) platí

(n N an c limn ⎯• an = c) limn ⎯• f(an) = b.

Funkce f má v bode c limitu b zprava, jestliže pro každou posloupnost (an) obsaženou v D(f) platí

(n N an c limn ⎯• an = c) limn ⎯• f(an) = b.

Věta (o limitě sevrené funkce):

Nechť f, g a h jsou reálné funkce jedné reálné promenné takové, že existuje okolí U bodu c takové, že

x U - {c} (f(x) h(x) g(x)) lim x ⎯• c f(x) = lim x ⎯• c g(x).

Potom existuje lim x ⎯• c h(x) a platí lim x ⎯• c h(x) = lim x ⎯• c f(x) = lim x ⎯• c g(x).

Věta (o nulové limitě reálné funkce jedné reálné promenné):

Nechť f je reálná funkce jedné reálné promenné, b a c jsou zobecnená reálná císla.

Potom

(i) lim x ⎯• c f(x) = 0 práve tehdy, jesliže lim x ⎯• c f(x) = 0,

(ii) lim x ⎯• c 1 / f(x) = 0 práve tehdy, jestliže lim x ⎯• c f(x) = ,

(iii) je-li c R, je lim x ⎯• c f(x) = b práve tehdy, jestliže lim h ⎯• 0 f(c+h) = b.

Věta (o nerovnostech a funkcích):

Nechť f a g jsou reálné funkce takové, že existují lim x ⎯• c f(x) a lim x ⎯• c g(x).

(i) Jestliže existuje okolí U bodu c takové, že

x U - {c} (f(x) g(x)),

potom lim x ⎯• c f(x) lim x ⎯• c g(x).

(ii) Jestliže lim x ⎯• c f(x) lim x ⎯• c g(x), potom existuje okolí U bodu c takové, že

x U - {c} (f(x) g(x)).

Věta (o vztahu mezi limitou reálné funkce jedné reálné promenné a limitou reálné posloupnosti):

Nechť f je reálná funkce jedné reálné promenné taková, že existuje lim x ⎯• f(x).

Potom existuje limita posloupnosti (f(n)) taková, že lim x ⎯• f(x) = lim n ⎯• f(n).

 

Napsat komentář

Přečtěte si naše reference autobazarů a hodnocení autobazarů a učiňte informované rozhodnutí při koupi auta.|zkušenosti barazy, zkušenosti s autobazary, bazary zkušenosti