Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné

Derivace

Definice :   Nechť funkce f je definována v jistém okolí bodu c.

                                                   f(c+h) - f(c)

Položme f ´(c) = lim h ⎯•  0, existuje-li tato limita.

Číslo f ´(c) nazveme derivací  funkce f v bodě c .

Neexistuje-li tato limita, pak ríkame, že funkce f nemá v bodě c derivaci. Je-li tato limita vlastní   (resp. nevlastní), pak ríkáme, že funkce f má v bodě c vlastní (resp. nevlastní) derivaci.

Pozn.: jisté okolí bodu c =   interval (c- δ  , c+ δ  ), kde δ    0

Věta (o vztahu mezi spojitostí a derivací):  

        Má-li funkce f v bodě c vlastní derivaci, je f  v bodě c spojitá.

Věta (o derivaci a algebraických operacích):

        Nechť funkce f a g mají v bodě x vlastní derivaci f ´(x) a g´(x) a necht α  , β  jsou reálné konstanty.         

        Potom platí:

                ( α  f +-β  g)´(x) = α  f ´(x) +- β  g´(x),

                         ( f *  g )´(x) = f ´(x) *   g(x) + f (x) *   g´(x),

                                                     f ´(x) *   g(x) - f (x) *g´(x)

                                      g                             g 2 (x)                     , pro g(x)  0.

Věta (o derivaci inverzní funkce):  

        Nechť funkce f je spojitá a ryze monotónní v otevreném intervalu I. Položme f(x) = y pro x  I.

Nechť funkce g inverzní k f má v bodě y vlastní nenulovou derivaci.

        Potom má funkce f v bodě x derivaci:

                                         f ´(x) = g´(y).

Věta (o derivaci složené funkce):

        Nechť funkce g(x) má vlastní derivaci v bodě x 0 . Nechť funkce f(y) má vlastní derivaci v bodě y 0 = g(x 0 ).

        Potom má funkce ( f [g] )(x) v bodě x 0
 vlastní derivaci  f ´( g(x 0 ) ) *   g´(x 0 ).

Věta (postacující podmínka pro lineární nezávislost):  

        Nechť funkce f 1 ,....., f n   mají derivace až do rádu (n-1) na intervalu I.

        Jestliže Wronského determinant těchto funkcí je v bodě x 0
 nenulový alespon pro jedno x 0    I, tak potom         funkce f 1 , ....., f n   jsou lineárne nezávislé.

Extrémy funkcí

Definice :   Nechť množina M je cástí definicního oboru oboru funkce f.

Rekneme,že funkce f nabývá v bodě c
 M maxima  (resp. minima ) vzhledem k množine M,  je-li:

                f (c) = max ( f (M) ), resp. f (c) = min ( f (M) ).

Definice :   Nechť f je funkce definovaná v intervalu (a, b).

             Řekneme, že funkce f má v bodě c  (a, b)
lokální maximum  (resp. lokální minimum ),  existuje-li δ   0 tak, že pro všechna x  (c- δ , c+ δ ) platí f(x)  f(c) (resp. f(x)  f(c) ).

             Řekneme, že funkce f má v bodě c  (a, b) ostré lokální maximum  (resp. ostré lokální _minimum ), existuje-li δ   0 tak, že pro všechna x  (c- δ , c) (c,c+ δ ) platí f(x) f(c) (resp. f(x)  f(c) ).

             Lokální maxima a lokální minima nazýváme lokální extrémy .

Věta (nutná podmínka pro lokální extrém - NPLE):

        Nechť funkce f definovaná v intervalu (a,b) má v bodě c  (a,b) lokální extrém.

        Pak, existuje-li derivace f ´(c), je f ´(c) = 0.

Věta o střední hodnotě

Věta (Rolleova):  

        Nechť f je funkce, která má tyto vlastnosti:

        1) je spojitá v uzavřeném intervalu <a,b>,

        2) má derivaci v každém bodě otevreného intervalu (a,b),

        3) f(a) = f(b) = 0.

        Potom existuje alespon jeden bod ε    (a,b) tak, že f ´( ε ) = 0.      

Věta (Langrangeova o střední hodnotě):

        Nechť f je funkce, která má tyto vlastnosti:

        1) je spojitá v uzavřeném intervalu <a,b>,

        2) má derivaci v každém bodě otevreného intervalu (a,b).

        Potom existuje alespon jeden bod ε   (a,b) tak, že platí:        

                                          f (b) - f (a)

                                 f ´(ε ) = ------------- .

Věta (zobecnená věta o střední hodnotě):

        Nechť platí:

        1) funkce f a g jsou spojité v intervalu a,b ,

        2) pro každé x  (a,b) existuje f ´(x) a g´(x),

        3) g´(x)  0 pro x  (a,b).

        Potom existuje ε    (a,b) tak, že platí:

                                         f ´( ε)         f (b) - f (a)

                                        ------   =   ------------- .

                                       g´( ε )         g (b) - g (a)

Věta (o významu první derivace pro prubeh funkce):

        Nechť funkce f(x) je spojitá v intervalu I a necht v každém vnitřním bodě tohoto intervalu existuje derivace.

        Je-li v každém vnitřním bodě intervalu I:

        1) f ´(x) > 0, pak funkce f je rostoucí v I,

        2) f ´(x) < 0, pak funkce f je klesající v I,

        3) f ´(x) = 0, pak je funkce f konstantní v I.

Věta (1. postacující podmínka pro lokální extrém - 1. PPLE):

        Nechť funkce f je spojitá v bodě c  (a,b).

        1) Je-li f ´(x) > 0 v intervalu (a,c) a f ´(x) < 0 v intervalu(c,b), má funkce f v bodě c ostré lokální maximum.

        2) Je-li f ´(x) < 0 v intervalu (a,c) a f ´(x) > 0 v intervalu (c,b), má funkce f v bodě c ostré lokální minimum.

        3) Je-li f ´(x) > 0 (resp. f ´(x) 0)  v množine (a,c)  (c,b), pak v bodě c nenastává lokální extrém.

Věta (2. postacující podmínka pro lokální extrém - 2. PPLE):  

        Nechť f ´(x) existuje v jistém okolí bodu c.

        1) Je-li f ´(c) = 0  a  f ´´(c) < 0, má funkce f v bodě c lokální maximum.

        2) Je-li f ´(c) = 0  a  f ´´(c) > 0, má funkce f  v bodě c lokální minimum.

Funkce konvexní a konkávní

Definice :   Nechť funkce f je definovaná v intervalu I.

             Řekněme, že funkce f je konvexní  v intervalu I , platí-li implikace

                                      f (x 2 ) - f (x1 )       f (x 3 ) - f (x 2 )

                 x1,x2,x3 I   (x 1  < x 2 < x 3     ---------------  <  --------------- ).

                  x 2 - x 1                  x 3 - x 2

             Řekněme, že funkce f je konkávní  v intervalu I , platí-li implikace

                  f (x 2 ) - f (x 1 )        f (x 3 ) - f (x 2 )

                 x1,x2,x3 I   (x 1  < x 2  < x 3   ----------------  >  ---------------- ).

                    x 2 - x 1                  x 3 - x 2

Věta (o významu druhé derivace pro prubeh funkce):

        Nechť f je funkce spojitá v intervalu I a necht existuje f ´´(x) v každém vnitrím bodě intervalu I.

        1) Je-li f ´´(x) > 0 v každém vnitřním bodě intervalu I, je f konvexní v intervalu I.

        2) Je-li f ´´(x) < 0 v každém vnitřním bodě intervalu I, je f konkávní v intervalu I.

Inflexe

Definice :   Nechť funkce f je spojitá v bodě b a necht v bodě b existuje vlastní, nebo nevlastní derivace f ´(b).

             Řekněme, že funkce f má v bodě b  inflexi , existuje-li δ  > 0 tak, že f je konvexní (resp.konkávní) v (b- δ , b> a konkávní (resp. konvexní) v <b, b+ δ ).

Průběh funkce

Postup při vyšetrování průběhu funkce:

        1) určíme definiční obor u elementárních funkcí, není-li definicní obor stanoven predem,

        2) vyšetríme, zda f je sudá, resp. lichá, resp. periodická,

        3) vyšetríme limity v krajních boděch definicních intervalu,

        4) stanovíme nulové body funkce, tj. prusecíky s osou x, a urcíme intervaly, kde je funkce kladná,                         resp. záporná,

        5) urcíme intervaly, v nichž je funkce rostoucí, resp. klesající a stanovíme body, v nichž nastávají                        lokální extrémy,

        6) urcíme intervaly, v nichž je funkce konvexní, resp. konkávní a stanovíme inflexní body,

        7) nakreslíme graf

Věta (o významu první derivace pro prubeh funkce):         viz. 10.3. - str. 4

Věta (o významu druhé derivace pro prubeh funkce):         viz. 10.4. - str. 5

Věta (Taylorova):

        Nechť funkce f má v jistém intervalu (a- δ , a+ δ ) derivace rádu (n+1).

        Pro každé x  (a- δ , a+ δ ), x  a  existuje   ε    (a, x), (resp. ε  
 (x, a)) tak, že platí

                                 f (n+1)  ( ε )

                        R  n+1  (x) = ----------- *   (x-a)  n+1  . (n+1)!

Pozn.: R  n+1 (x)   - Lagrangeuv tvar zbytku

Napsat komentář

recenze autobazarů, reference bazarů s auty, hodnocení autobazarů, ojetá auta|zkušenosti s nákupem auta