Derivace
Definice : Nechť funkce f je definována v jistém okolí bodu c.
f(c+h) - f(c)
Položme f ´(c) = lim h ⎯• 0, existuje-li tato limita.
Číslo f ´(c) nazveme derivací funkce f v bodě c .
Neexistuje-li tato limita, pak ríkame, že funkce f nemá v bodě c derivaci. Je-li tato limita vlastní (resp. nevlastní), pak ríkáme, že funkce f má v bodě c vlastní (resp. nevlastní) derivaci.
Pozn.: jisté okolí bodu c = interval (c- δ , c+ δ ), kde δ • 0
Věta (o vztahu mezi spojitostí a derivací):
Má-li funkce f v bodě c vlastní derivaci, je f v bodě c spojitá.
Věta (o derivaci a algebraických operacích):
Nechť funkce f a g mají v bodě x vlastní derivaci f ´(x) a g´(x) a necht α , β jsou reálné konstanty.
Potom platí:
( α f +-β g)´(x) = α f ´(x) +- β g´(x),
( f * g )´(x) = f ´(x) * g(x) + f (x) * g´(x),
f ´(x) * g(x) - f (x) *g´(x)
g g 2 (x) , pro g(x) ≠ 0.
Věta (o derivaci inverzní funkce):
Nechť funkce f je spojitá a ryze monotónní v otevreném intervalu I. Položme f(x) = y pro x ∈ I.
Nechť funkce g inverzní k f má v bodě y vlastní nenulovou derivaci.
Potom má funkce f v bodě x derivaci:
f ´(x) = g´(y).
Věta (o derivaci složené funkce):
Nechť funkce g(x) má vlastní derivaci v bodě x 0 . Nechť funkce f(y) má vlastní derivaci v bodě y 0 = g(x 0 ).
Potom má funkce ( f [g] )(x) v bodě x 0
vlastní derivaci f ´( g(x 0 ) ) * g´(x 0 ).
Věta (postacující podmínka pro lineární nezávislost):
Nechť funkce f 1 ,....., f n mají derivace až do rádu (n-1) na intervalu I.
Jestliže Wronského determinant těchto funkcí je v bodě x 0
nenulový alespon pro jedno x 0 ∈ I, tak potom funkce f 1 , ....., f n jsou lineárne nezávislé.
Extrémy funkcí
Definice : Nechť množina M je cástí definicního oboru oboru funkce f.
Rekneme,že funkce f nabývá v bodě c ∈
M maxima (resp. minima ) vzhledem k množine M, je-li:
f (c) = max ( f (M) ), resp. f (c) = min ( f (M) ).
Definice : Nechť f je funkce definovaná v intervalu (a, b).
Řekneme, že funkce f má v bodě c ∈ (a, b)
lokální maximum (resp. lokální minimum ), existuje-li δ • 0 tak, že pro všechna x ∈ (c- δ , c+ δ ) platí f(x) ≤ f(c) (resp. f(x) ≥ f(c) ).
Řekneme, že funkce f má v bodě c∈ (a, b) ostré lokální maximum (resp. ostré lokální _minimum ), existuje-li δ • 0 tak, že pro všechna x ∈ (c- δ , c) ∪ (c,c+ δ ) platí f(x) • f(c) (resp. f(x) • f(c) ).
Lokální maxima a lokální minima nazýváme lokální extrémy .
Věta (nutná podmínka pro lokální extrém - NPLE):
Nechť funkce f definovaná v intervalu (a,b) má v bodě c ∈ (a,b) lokální extrém.
Pak, existuje-li derivace f ´(c), je f ´(c) = 0.
Věta o střední hodnotě
Věta (Rolleova):
Nechť f je funkce, která má tyto vlastnosti:
1) je spojitá v uzavřeném intervalu <a,b>,
2) má derivaci v každém bodě otevreného intervalu (a,b),
3) f(a) = f(b) = 0.
Potom existuje alespon jeden bod ε ∈ (a,b) tak, že f ´( ε ) = 0.
Věta (Langrangeova o střední hodnotě):
Nechť f je funkce, která má tyto vlastnosti:
1) je spojitá v uzavřeném intervalu <a,b>,
2) má derivaci v každém bodě otevreného intervalu (a,b).
Potom existuje alespon jeden bod ε ∈ (a,b) tak, že platí:
f (b) - f (a)
f ´(ε ) = ------------- .
Věta (zobecnená věta o střední hodnotě):
Nechť platí:
1) funkce f a g jsou spojité v intervalu • a,b • ,
2) pro každé x∈ (a,b) existuje f ´(x) a g´(x),
3) g´(x) ≠ 0 pro x ∈ (a,b).
Potom existuje ε ∈ (a,b) tak, že platí:
f ´( ε) f (b) - f (a)
------ = ------------- .
g´( ε ) g (b) - g (a)
Věta (o významu první derivace pro prubeh funkce):
Nechť funkce f(x) je spojitá v intervalu I a necht v každém vnitřním bodě tohoto intervalu existuje derivace.
Je-li v každém vnitřním bodě intervalu I:
1) f ´(x) > 0, pak funkce f je rostoucí v I,
2) f ´(x) < 0, pak funkce f je klesající v I,
3) f ´(x) = 0, pak je funkce f konstantní v I.
Věta (1. postacující podmínka pro lokální extrém - 1. PPLE):
Nechť funkce f je spojitá v bodě c ∈ (a,b).
1) Je-li f ´(x) > 0 v intervalu (a,c) a f ´(x) < 0 v intervalu(c,b), má funkce f v bodě c ostré lokální maximum.
2) Je-li f ´(x) < 0 v intervalu (a,c) a f ´(x) > 0 v intervalu (c,b), má funkce f v bodě c ostré lokální minimum.
3) Je-li f ´(x) > 0 (resp. f ´(x) • 0) v množine (a,c) ∪ (c,b), pak v bodě c nenastává lokální extrém.
Věta (2. postacující podmínka pro lokální extrém - 2. PPLE):
Nechť f ´(x) existuje v jistém okolí bodu c.
1) Je-li f ´(c) = 0 a f ´´(c) < 0, má funkce f v bodě c lokální maximum.
2) Je-li f ´(c) = 0 a f ´´(c) > 0, má funkce f v bodě c lokální minimum.
Funkce konvexní a konkávní
Definice : Nechť funkce f je definovaná v intervalu I.
Řekněme, že funkce f je konvexní v intervalu I , platí-li implikace
f (x 2 ) - f (x1 ) f (x 3 ) - f (x 2 )
∀ x1,x2,x3 ∈ I (x 1 < x 2 < x 3 ⇒ --------------- < --------------- ).
x 2 - x 1 x 3 - x 2
Řekněme, že funkce f je konkávní v intervalu I , platí-li implikace
f (x 2 ) - f (x 1 ) f (x 3 ) - f (x 2 )
∀ x1,x2,x3 ∈ I (x 1 < x 2 < x 3 ⇒ ---------------- > ---------------- ).
x 2 - x 1 x 3 - x 2
Věta (o významu druhé derivace pro prubeh funkce):
Nechť f je funkce spojitá v intervalu I a necht existuje f ´´(x) v každém vnitrím bodě intervalu I.
1) Je-li f ´´(x) > 0 v každém vnitřním bodě intervalu I, je f konvexní v intervalu I.
2) Je-li f ´´(x) < 0 v každém vnitřním bodě intervalu I, je f konkávní v intervalu I.
Inflexe
Definice : Nechť funkce f je spojitá v bodě b a necht v bodě b existuje vlastní, nebo nevlastní derivace f ´(b).
Řekněme, že funkce f má v bodě b inflexi , existuje-li δ > 0 tak, že f je konvexní (resp.konkávní) v (b- δ , b> a konkávní (resp. konvexní) v <b, b+ δ ).
Průběh funkce
Postup při vyšetrování průběhu funkce:
1) určíme definiční obor u elementárních funkcí, není-li definicní obor stanoven predem,
2) vyšetríme, zda f je sudá, resp. lichá, resp. periodická,
3) vyšetríme limity v krajních boděch definicních intervalu,
4) stanovíme nulové body funkce, tj. prusecíky s osou x, a urcíme intervaly, kde je funkce kladná, resp. záporná,
5) urcíme intervaly, v nichž je funkce rostoucí, resp. klesající a stanovíme body, v nichž nastávají lokální extrémy,
6) urcíme intervaly, v nichž je funkce konvexní, resp. konkávní a stanovíme inflexní body,
7) nakreslíme graf
Věta (o významu první derivace pro prubeh funkce): viz. 10.3. - str. 4
Věta (o významu druhé derivace pro prubeh funkce): viz. 10.4. - str. 5
Věta (Taylorova):
Nechť funkce f má v jistém intervalu (a- δ , a+ δ ) derivace rádu (n+1).
Pro každé x ∈ (a- δ , a+ δ ), x ≠ a existuje ε ∈ (a, x), (resp. ε ∈
(x, a)) tak, že platí
f (n+1) ( ε )
R n+1 (x) = ----------- * (x-a) n+1 . (n+1)!
Pozn.: R n+1 (x) - Lagrangeuv tvar zbytku