Matice

Matice

Definice. Schéma m.n reálných čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců se nazývá matice typu m x n. Značí se Amxn, příp. [aij]mxn Podobně značíme Brxs, příp. [bij]rxs atd. Čísla a11…amn se nazývají prvky matice A.

Definice. Matice, která má všechny prvky rovny nule, se nazývá nulová matice a značí se N.

Definice. Množina prvků {a11, a22,…,aKK}, kde k = min {m,n} se nazývá hlavní diagonála matice A.

Matice typu m x a, kde m a, která má všechny prvky pod hlavní diagonálou, tj. prvky aij, i j, rovny nule, se nazývá (horní) trojúhelníková matice.

Matice o stejném počtu řádků a sloupců, tj. matice typu r x r, r N se nazývá čtvercová.

Čtvercová matice, která má všechny prvky mimo hlavní diagonálu, tj. prvky aij, i = j, rovny nule, se nazývá diagonální matice.

Čtvercová matice, která má všechny prvky mimo hlavní diagonálu rovny nule a všechny prvky na hlavní diagonále rovny jedné, se nazývá jednotková matice. Značí se J.

Definice. Tzv. řádky neboli řádkové vektory matice A (a11, a12,…,a1n),… (am1, am2,…,amn) generují tzv. řádkový prostor Vř, který je podprostorem prostoru Vn. Tzv. sloupce neboli sloupcové vektory matice A (a11, a12,…,a1n),… (am1, am2,…,amn) generují tzv. sloupcový prostor Vs, který je podprostorem prostoru Vm.

Věta (o hodnosti řádkového a sloupcového prostoru). Uvažujme matici A typu m x n. Hodnost řádkového prostoru (tj. maximální počet lineárně nezávislých řádků) matice A je roven hodnosti sloupcového prostoru (tj. maximálnímu počtu lineárně nezávislých sloupců) této matice a platí

h(Vř) = h(Vs) min {m,n}.

Definice. Hodnost řádkového, resp. sloupcového prostoru matice A se nazývá hodnost matice A a značí se h(A).

Věta(o hodnosti trojúhelníkové matice). Trojúhelníková matice A typu m x n, m a s nenulovými prvky na hlavní diagonále, tj. aii 0, i = 1,…m, (označme ji AΔmxn):

má hodnost rovnou počtu řádků, tj. h(AΔmxn) = m.

Poznámka. Elementárními úpravami α, β, γ, δ, ε řádků matice se nezmění její řádkový prostor a tedy ani hodnost matice.

Věta (o záměně sloupců matice). Záměnou sloupců matice se její hodnost nezmění (úprava ζ).

 

Převod matice Amxn na trojúhelníkový tvar AΔmxn

  1. Je-li a11 = 0, záměnou řádků (úprava α) nebo sloupců (úprava ζ) matice A se na jeho místo přesune nenulový prvek.
  2. Úpravami γ (přičítáním vhodného násobku obvykle 1. řádku ke 2. až k m-tému řádku upravené matice A) se anulují prvky 1. sloupce matice pod hlavní diagonálou.
  3. Pokud je a22 = 0, záměnou řádků nebo sloupců se na jeho místo přesune nenulový prvek.
  4. Úpravami γ (přičítáním vhodného násobku obvykle 2. řádku až k 3. až k m-tému řádku upravené matice A) se anulují prvky 2. sloupce matice pod hlavní diagonálou
  5. atd., vzniklé nulové řádky matice se vynechají (elementární úprava ε)
  6. Po konečném počtu úprav vznikne matice AΔmxn o téže hodnosti jako původní matice A.

Definice. Matice AT, která vznikne z matice A záměnou řádků za sloupce, přičemž zachováme jejich pořadí, se nazývá matice transponovaná k matici A.

Poznámka. Zmíněnou záměnou se zamění pořadí indexů u jednotlivých prvků matice A, tj. aTij = aji, i = 1, m, j = 1,…,a; při transpozici se tedy matice A překlopí pod hlavní diagonálu.

Věta (o hodnosti navzájem transponovaných matic). Navzájem transponované matice mají stejnou hodnost h(AT) = h(A).

Napsat komentář

bazary recenze, recenze autobazarů, autobazary, hodnocení autobazarů, recenze bazarů, zkušenosti s nákupem auta