Lineární (vektorové) prostory
Definice. Množina L libovolných prvků (budeme je značit a,b,...,z a říkat jim vektory) se nazývá lineární prostor, jestliže
- Je dáno zobrazení L x L do L, které každé uspořádané dvojici (x,y) ∈ L x L přiřazuje vektor x + y ∈ L tak, že platí axiomy
- ∀(x,y∈L) [x + y = y + x]
- ∀(x,y,z∈L) [x + (y + z) = (x + y) + z]
- ∃(o∈L) ∀(x∈L) [x + o = x]
- ∀(x∈L) ∃(-x∈L) [x + (-x) = o]
Toto zobrazení se nazývá sčítání na množině L, vektor x + y se nazývá součet vektorů x,y.
- Je dáno zobrazení R x L do L, které každé uspořádané dvojici (c,x) ∈ R x / přiřazuje vektor cx ∈ L tak, že platí axiomy
- ∀(x∈L) [1x = x]
- ∀(c,d∈R) ∀(x∈L) [c(dx) = (cd)x]
- ∀(c,d∈R) ∀(x∈L) [(c + d)x = cx + dx]
- ∀(c∈R) ∀(x,y∈R) [c(x + y) = cx + cy]
Toto zobrazení se nazývá násobení vektorů z L reálným číslem, vektor cx se nazývá reálný násobek vektoru x.
Definice. Množina Vn všech uspořádaných n-tic reálných čísel, na které jsou definovány operace sčítání a násobení reálným číslem vztahy
a + b = (a1 + b1,...,an + bn), ca = (ca1,...,can)
se nazývá aritmetický lineární prostor. Prvky Vn, tj. uspořádané n-tice reálných čísel, se nazývají aritmetické vektory.
Věta (o lineárním prostoru reálných funkcí). Jestliže na množině FM všech reálných funkcí s definičním oborem M (M ≠ 0) definujeme součet funkcí a reálný násobek funkce vztahy
∀(x∈M) [[f + g](x) = f(x) + g(x)], ∀(x∈M) [[cf](x) = cf(x)]
pak FM je lineární prostor.
Definice. Množina L0 se nazývá podprostor lineárního prostoru L, jestliže
- L0 je neprázdná podmnožina množiny L
- pro každé x,y∈L0 je x + y ∈ L0 (L0 je uzavřená vůči sčítání)
- pro každé c∈R a x∈L0 je cx∈L0 (L0 je uzavřená vůči násobení reálným číslem).
Definice. Nechť x a x1,...,xr jsou vektory z lineárního prostoru L (r∈N je pevně dané). Říkáme, že vektor x je lineární kombinací vektorů x1,...,xr, jestliže existují reálná čísla c1,...,cr taková, že platí
Čísla c1,...cr se nazývají koeficienty lineární kombinace.
Definice. Nechť x1,...xr jsou vektory z lineárního prostoru L (r∈N je pevně dané). Množina [x1,...,xr] všech lineárních kombinací vektorů x1,...,xr se nazývá lineární obal vektorů x1,...,xr.
Věta (o lineárním obalu). Jsou-li x1,...,xr vektory z lineárního prostoru L, pak jejich lineární obal [x1,...,xr] je podprostor L.
Definice. Nechť x1,...,xr jsou vektory z lineárního prostoru L (r∈N je pevně dané). Jestliže každý vektor x∈L se dá vyjádřit ve tvaru lineární kombinace vektorů x1,...,xr, nazýváme x1,...,xr určující skupinou lineárního prostoru L, nebo říkáme, že lineární prostor L je těmito vektory generován.
Věta (o změnách určující skupiny). Nechť x1,...,xr jsou vektory z lineárního prostoru L a y1,...,ys jsou vektory, které vznikly z x1,...,xr následujícím způsobem
- záměnou pořadí vektorů
- násobením libovolného vektoru nenulovým reálným číslem
- přičtením k libovolnému vektoru lineární kombinace ostatních
- vynecháním vektoru, který je lineární kombinací ostatních
- přidáním vektor, který je lineární kombinací x1,...,xr.
Jestliže vektory x1,...,xr tvoří určující skupinu lineárního prostoru L, pak každá skupina vektorů y1,...,ys vzniklá z x1,...,xr změnami 1) až 5), je opět určující skupinou L.
Definice. Nechť x1,...,xr jsou vektory z lineárního prostoru L (r∈N je pevně dané). Vektory x1,...,xr se nazývají lineárně závislé, jestliže existují reálná čísla c1,...,cr, z nichž alespoň jedno je různé od nuly, taková, že
V opačném případě se nazývají lineárně nezávislé.
Definice. Určující skupina x1,...,xr lineárního prostoru L, jejíž vektory jsou lineárně nezávislé, se nazývá báze lineárního prostoru L.
Věta (o závislé skupině). Existuje-li v lineárním prostoru L báze o r vektorech, pak každá skupina více než r vektorů z L je lineárně závislá.
Věta (o počtu vektorů v bázi). Jsou-li x1,...,xr a y1,...,ys dvě různé báze lineárního prostru L, pak r = s.
Definice. Počet vektorů v libovolné bázi lineárního prostoru L se nazývá hodnost (nebo dimenze) lineárního prostoru L.
Definice. Zobrazení Vn x Vn do R, které každým dvěma vektorům x = (x1,...,xn), y = (y1,...,yn) přiřazuje reálné číslo se nazývá skalární součin aritmetických vektorů x,y.
Definice. Vektory x,y z lineárního prostoru L se nazývají ortogonální (kolmé), jestliže jejich skalární součin je roven 0, tj. xy = 0.
Skupina vektorů x1,...,xr (r > 2) z lineárního prostoru L se nazývá ortogonální, jestliže každé dva vektory této skupiny jsou ortogonální.
Definice: Reálné číslo se nazývá délka (euklidovská norma) vektoru x. Jestliže má vektor jednotkovou délku, nazývá se normovaný.
Příklady
Dokažte, že
-x = (-1).x o = 0.x
c = 1 d = -1
c.(d.x) = (c.d).x
1(-x) = (-1).x
1) FY – množina všech reálných funkcí definovaných na intervalu Y
f, g ∈ FY → f + g ⇔ ∀ x ∈ Y (f + g)(x) = f(x) + g(x)
c ∈ R ∧ f ∈ FY → c.f
2) V∞ - množina všech reálných posloupností
(an) = (a1, a2, a3,…)
(an + bn) = (an) + (bn)
(c.an) = c.(an)
3) Vn – množina všech uspořádaných n-tic reálných čísel
ā = (a1, a2, a3,…an)
(ā – aritmetický vektor)
(a1 + b1,…, an + bn) = (a1…an) + (b1…bn)
(c.a1,…,c.an) = c.(a1…an)
a1…an – složky vektoru a (jen u aritmetické posloupnosti)
4) FR – např. x2, ⏐x⏐
Jsou kvadratické rovnice podprostorem FR?
Pokud sečteme určité kvadratické rovnice, můžeme získat rovnici lineární nebo konstantní, proto nejsou kvadratické rovnice podprostorem funkcí v R.
Podprostorem všech funkcí FR je množina všech polynomů nejvýše 2. stupně včetně 0.
5) Jsou rostoucí funkce podprostorem funkcí FR?
Násobíme-li rostoucí funkci záporným číslem, vzniká funkce klesající -> rostoucí fce nejsou podprostorem FR.
6) Množina s posloupnostmi s limitou 0 je podprostorem. Limity se vždy blíží nule, když se funkce sečtou.
7) V3 – množina všech uspořádaných trojic
M´ = {(a, b, a + b), a, b ∈ R} je podprostorem (a1, b1, a1 + b1) + (a2, b2, a2 + b2) = ((a1 + a2), (b1 + b2), (a1 + a2) + (b1 + b2))
8) V3 M* = {(a, a, 1) a ∈ R} není podprostorem (jednička je při sčítání 2)
9) V3…a1 = ā1 = (1,0,1); a2 = ā2 = (0,1,1)
c1.ā1 = (c1,0,c1) c2.ā2 = (0,c2,c2)
c1.ā1 + c2.ā2 = (c1, c2, c1 + c2)
[(1,0,1), (0,1,1)] = {(c1, c2, c1 + c2)}; c1, c2 ∈ R
10) podprostor P2 (polynomy max. 2. stupně)
určující skupina 1 x x2
c1x2 + c2x + c3.1
(a, b, a + b) = a(1,0,1) + b(0,1,1)
11) P(množina všech polynomů) je pod FR určující skupinou P? P nemá určující skupinu.
12) M´ = {(a, b, a+b), a, b ∈ R} - podprostor V3
ā1 = (1,0,1); ā2 = (0,1,1)
(3,5,8) = 3(1,0,1) + 5(0,1,1)
(a, b, a+b) = a(1,0,1) + b(0,1,1)
K některým prostorům neexistují určující skupiny.
13) b1 = (2,0,2); b2 = (0,1,1)
(a, b, a+b) = 0,5.a.b1 + b.b2
14) (1,1,0), (0,1,1), (1,2,1) – 3. vektor je lineární kombinací ostatních – lineárně závislá skupina
15) x, x2
x2 není konstantní násobek x – lineárně nezávislé
16) 3a1 + 5a2 + 7a3 = 0 a1 = -5/3.a2 – 7/3.a3
lineárně závislé lineární kombinace
17) 1,x,x2
obecná lineární kombinace
c1 + c2x + c3x2 = 0
c musí být rovna 0, protože jinak by to byla kvadratická rovnice, která má jen dvě řešení, proto by to neplatilo pro všechna x
1,x,x2 jsou lineárně nezávislé
18) x2 – 5 → (-5,0,1)
19) b1 = (1,1,1) b2 = (7,Π,Π) - nezávislá, nepatří do M´ {(a,b,a+b), a,b∈R}
20) b1 = (1,2,3) ∈ M´ b2 = (3,5,8) - nezávislá, nová báze
21) V3 (1,2,3) (1,2,4) (1,5,8) (1,7,384) → 4 trojice ve V3 – závislé
22) V3 j1(1,0,0), j2(0,1,0), j3(0,0,1) - jednotkové vektory (jen u arit.), nezávislé – báze V3
23) h(P2) = 3 → h ({0}) = 0
24) VK∞ → V1
množina všech konvergentních posloupností
L(an) = lim an
L(an) = 1 lim an = 1