Lineární (vektorové) prostory

Definice. Množina L libovolných prvků (budeme je značit a,b,...,z a říkat jim vektory) se nazývá lineární prostor, jestliže

  1. Je dáno zobrazení L x L do L, které každé uspořádané dvojici (x,y) L x L přiřazuje vektor     x + y L tak, že platí axiomy
    1. (x,yL) [x + y = y + x]
    2. (x,y,zL) [x + (y + z) = (x + y) + z]
    3. (oL) (xL) [x + o = x]
    4. (xL) (-xL) [x + (-x) = o]

Toto zobrazení se nazývá sčítání na množině L, vektor x + y se nazývá součet vektorů x,y.

  1. Je dáno zobrazení R x L do L, které každé uspořádané dvojici (c,x) R x / přiřazuje vektor   cx L tak, že platí axiomy
    1. (xL) [1x = x]
    2. (c,dR) (xL) [c(dx) = (cd)x]
    3. (c,dR) (xL) [(c + d)x = cx + dx]
    4. (cR) (x,yR) [c(x + y) = cx + cy]

Toto zobrazení se nazývá násobení vektorů z L reálným číslem, vektor cx se nazývá reálný násobek vektoru x.

Definice. Množina Vn všech uspořádaných n-tic reálných čísel, na které jsou definovány operace sčítání a násobení reálným číslem vztahy

a + b = (a1 + b1,...,an + bn), ca = (ca1,...,can)

se nazývá aritmetický lineární prostor. Prvky Vn, tj. uspořádané n-tice reálných čísel, se nazývají aritmetické vektory.

Věta (o lineárním prostoru reálných funkcí). Jestliže na množině FM všech reálných funkcí s definičním oborem M (M 0) definujeme součet funkcí a reálný násobek funkce vztahy

(xM) [[f + g](x) = f(x) + g(x)], (xM) [[cf](x) = cf(x)]

pak FM je lineární prostor.

Definice. Množina L0 se nazývá podprostor lineárního prostoru L, jestliže

  1. L0 je neprázdná podmnožina množiny L
  2. pro každé x,yL0 je x + y L0 (L0 je uzavřená vůči sčítání)
  3. pro každé cR a xL0 je cxL0 (L0 je uzavřená vůči násobení reálným číslem).

Definice. Nechť x a x1,...,xr jsou vektory z lineárního prostoru L (rN je pevně dané). Říkáme, že vektor x je lineární kombinací vektorů x1,...,xr, jestliže existují reálná čísla c1,...,cr taková, že platí

Čísla c1,...cr se nazývají koeficienty lineární kombinace.

Definice. Nechť x1,...xr jsou vektory z lineárního prostoru L (rN je pevně dané). Množina [x1,...,xr] všech lineárních kombinací vektorů x1,...,xr se nazývá lineární obal vektorů x1,...,xr.

Věta (o lineárním obalu). Jsou-li x1,...,xr vektory z lineárního prostoru L, pak jejich lineární obal [x1,...,xr] je podprostor L.

Definice. Nechť x1,...,xr jsou vektory z lineárního prostoru L (rN je pevně dané). Jestliže každý vektor xL se dá vyjádřit ve tvaru lineární kombinace vektorů x1,...,xr, nazýváme x1,...,xr určující skupinou lineárního prostoru L, nebo říkáme, že lineární prostor L je těmito vektory generován.

Věta (o změnách určující skupiny). Nechť x1,...,xr jsou vektory z lineárního prostoru L a y1,...,ys jsou vektory, které vznikly z x1,...,xr následujícím způsobem

  1. záměnou pořadí vektorů
  2. násobením libovolného vektoru nenulovým reálným číslem
  3. přičtením k libovolnému vektoru lineární kombinace ostatních
  4. vynecháním vektoru, který je lineární kombinací ostatních
  5. přidáním vektor, který je lineární kombinací x1,...,xr.

Jestliže vektory x1,...,xr tvoří určující skupinu lineárního prostoru L, pak každá skupina vektorů y1,...,ys vzniklá z x1,...,xr změnami 1) až 5), je opět určující skupinou L.

Definice. Nechť x1,...,xr jsou vektory z lineárního prostoru L (rN je pevně dané). Vektory x1,...,xr se nazývají lineárně závislé, jestliže existují reálná čísla c1,...,cr, z nichž alespoň jedno je různé od nuly, taková, že

V opačném případě se nazývají lineárně nezávislé.

Definice. Určující skupina x1,...,xr lineárního prostoru L, jejíž vektory jsou lineárně nezávislé, se nazývá báze lineárního prostoru L.

Věta (o závislé skupině). Existuje-li v lineárním prostoru L báze o r vektorech, pak každá skupina více než r vektorů z L je lineárně závislá.

Věta (o počtu vektorů v bázi). Jsou-li x1,...,xr a y1,...,ys dvě různé báze lineárního prostru L, pak r = s.

Definice. Počet vektorů v libovolné bázi lineárního prostoru L se nazývá hodnost (nebo dimenze) lineárního prostoru L.

Definice. Zobrazení Vn x Vn do R, které každým dvěma vektorům x = (x1,...,xn), y = (y1,...,yn) přiřazuje reálné číslo se nazývá skalární součin aritmetických vektorů x,y.

Definice. Vektory x,y z lineárního prostoru L se nazývají ortogonální (kolmé), jestliže jejich skalární součin je roven 0, tj. xy = 0.

Skupina vektorů x1,...,xr (r > 2) z lineárního prostoru L se nazývá ortogonální, jestliže každé dva vektory této skupiny jsou ortogonální.

Definice: Reálné číslo se nazývá délka (euklidovská norma) vektoru x. Jestliže má vektor jednotkovou délku, nazývá se normovaný.

Příklady

Dokažte, že

-x = (-1).x o = 0.x

c = 1  d = -1

c.(d.x) = (c.d).x

1(-x) = (-1).x

1) FY – množina všech reálných funkcí definovaných na intervalu Y

  f, g FY f + g x Y (f + g)(x) = f(x) + g(x)

 c R f FY c.f

2) V - množina všech reálných posloupností

   (an) = (a1, a2, a3,…)

   (an + bn) = (an) + (bn)

   (c.an) = c.(an)

3) Vn – množina všech uspořádaných n-tic reálných čísel

   ā = (a1, a2, a3,…an)

(ā – aritmetický vektor)

(a1 + b1,…, an + bn) = (a1…an) + (b1…bn)

(c.a1,…,c.an) = c.(a1…an)

a1…an – složky vektoru a (jen u aritmetické posloupnosti)

4) FR – např. x2, x

Jsou kvadratické rovnice podprostorem FR?

Pokud sečteme určité kvadratické rovnice, můžeme získat rovnici lineární nebo konstantní, proto nejsou kvadratické rovnice podprostorem funkcí v R.

Podprostorem všech funkcí FR je množina všech polynomů nejvýše 2. stupně včetně 0.

5) Jsou rostoucí funkce podprostorem funkcí FR?

Násobíme-li rostoucí funkci záporným číslem, vzniká funkce klesající -> rostoucí fce nejsou podprostorem FR.

6) Množina s posloupnostmi s limitou 0 je podprostorem. Limity se vždy blíží nule, když se funkce sečtou.

7) V3 – množina všech uspořádaných trojic

M´ = {(a, b, a + b), a, b R} je podprostorem (a1, b1, a1 + b1) + (a2, b2, a2 + b2) = ((a1 + a2), (b1 + b2), (a1 + a2) + (b1 + b2))

8) V3 M* = {(a, a, 1) a R} není podprostorem (jednička je při sčítání 2)

9) V3a1 = ā1 = (1,0,1); a2 = ā2 = (0,1,1)

c1.ā1 = (c1,0,c1) c2.ā2 = (0,c2,c2)

c1.ā1 + c2.ā2 = (c1, c2, c1 + c2)

[(1,0,1), (0,1,1)] = {(c1, c2, c1 + c2)}; c1, c2 R

10) podprostor P2 (polynomy max. 2. stupně)

určující skupina 1 x x2

c1x2 + c2x + c3.1

(a, b, a + b) = a(1,0,1) + b(0,1,1)

11) P(množina všech polynomů) je pod FR určující skupinou P? P nemá určující skupinu.

12) M´ = {(a, b, a+b), a, b R} - podprostor V3

ā1 = (1,0,1); ā2 = (0,1,1)

(3,5,8) = 3(1,0,1) + 5(0,1,1)

(a, b, a+b) = a(1,0,1) + b(0,1,1)

K některým prostorům neexistují určující skupiny.

13) b1 = (2,0,2); b2 = (0,1,1)

(a, b, a+b) = 0,5.a.b1 + b.b2

14) (1,1,0), (0,1,1), (1,2,1) – 3. vektor je lineární kombinací ostatních – lineárně závislá skupina

15) x, x2

x2 není konstantní násobek x – lineárně nezávislé

16) 3a1 + 5a2 + 7a3 = 0 a1 = -5/3.a2 – 7/3.a3

lineárně závislé lineární kombinace

17) 1,x,x2

obecná lineární kombinace

c1 + c2x + c3x2 = 0

c musí být rovna 0, protože jinak by to byla kvadratická rovnice, která má jen dvě řešení, proto by to neplatilo pro všechna x

1,x,x2 jsou lineárně nezávislé

18) x2 – 5 (-5,0,1)

19) b1 = (1,1,1) b2 = (7,Π,Π) - nezávislá, nepatří do M´ {(a,b,a+b), a,bR}

20) b1 = (1,2,3) b2 = (3,5,8) - nezávislá, nová báze

21) V3 (1,2,3) (1,2,4) (1,5,8) (1,7,384) → 4 trojice ve V3 – závislé

22) V3 j1(1,0,0), j2(0,1,0), j3(0,0,1) - jednotkové vektory (jen u arit.), nezávislé – báze V3

23) h(P2) = 3 → h ({0}) = 0

24) VK V1

množina všech konvergentních posloupností

L(an) = lim an

L(an) = 1 lim an = 1

Napsat komentář

„Muži nedovedou ocenit vlastní ženy. To přenechávají druhým.“ Oscar Wilde